Oversikt

Derivasjon er det mest sentrale verktøyet i MET 2910. Du bruker det til a finne stigningstall, ekstremalverdier, vendepunkter, tangentlinjer og i alle okonomiske optimeringsproblemer. Pa eksamen testes derivasjon direkte i Oppgave 1 (deriver gitte funksjoner) og indirekte i nesten alle andre oppgaver.

Grunnregler

$$f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n \cdot x^{n-1}$$

$$f(x) = e^x \Rightarrow f'(x) = e^x \qquad f(x) = \ln x \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x}$$

$$f(x) = k \Rightarrow f'(x) = 0 \quad \text{(konstant)}$$

Sammensatte regler

Produktregelen: $(g \cdot h)' = g' \cdot h + g \cdot h'$

Kvotientregelen: $\left(\frac{g}{h}\right)' = \frac{g' \cdot h - g \cdot h'}{h^2}$

Kjerneregelen (chain rule): Hvis $f(x) = F(g(x))$, da er $f'(x) = F'(g(x)) \cdot g'(x)$. Eksempler:

$(e^{3x})' = e^{3x} \cdot 3$ -- ytre: $e^u$, indre: $u = 3x$, ytre derivert: $e^u$, indre derivert: $3$
$(\ln(x^2+1))' = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1}$
$((2x+1)^5)' = 5(2x+1)^4 \cdot 2 = 10(2x+1)^4$

Tangentlinjen

Tangentlinjen til $f(x)$ i punktet $x = a$ er gitt ved:

$$y = f(a) + f'(a)(x - a)$$

Dette er en hyppig eksamensoppgave. Du trenger tre ting: funksjonsverdien $f(a)$, den deriverte $f'(x)$, og verdien $f'(a)$.

Ekstremalverdier

Steg 1: Finn stasjonaere punkter ved a sette $f'(x) = 0$.

Steg 2: Klassifiser med andrederivert-testen:

$f''(a) < 0 \Rightarrow$ lokalt maksimum i $x = a$
$f''(a) > 0 \Rightarrow$ lokalt minimum i $x = a$
$f''(a) = 0 \Rightarrow$ testen er inkonklusiv

Vendepunkter

Et vendepunkt er der krumningen endrer seg, altsa der $f''(x)$ skifter fortegn. Finn kandidater ved a sette $f''(x) = 0$, og sjekk at fortegnet faktisk endrer seg (f.eks. ved $f'''(x) \neq 0$ eller fortegnsskjema).

Hoyere ordens deriverte

Den andrederiverte $f''(x)$ forteller om krumningen: $f''(x) > 0$ betyr konveks (krummer oppover), $f''(x) < 0$ betyr konkav (krummer nedover).

Eksempel: Ekstremalverdier med andrederivert-test

Oppgave: Finn eventuelle lokale ekstremalverdier til $f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2$.

Losning:

$f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x = 2x(2x^2 - 3x + 1)$

Faktoriser videre: $2x^2 - 3x + 1 = (2x - 1)(x - 1)$

Altsa $f'(x) = 2x(2x-1)(x-1) = 0$ gir $x = 0$, $x = \frac{1}{2}$, $x = 1$

$f''(x) = 12x^2 - 12x + 2$

$f''(0) = 2 > 0$ $\Rightarrow$ lokalt minimum i $x = 0$, $f(0) = 0$

$f''(\frac{1}{2}) = 12 \cdot \frac{1}{4} - 12 \cdot \frac{1}{2} + 2 = 3 - 6 + 2 = -1 < 0$ $\Rightarrow$ lokalt maksimum i $x = \frac{1}{2}$, $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{16}$

$f''(1) = 12 - 12 + 2 = 2 > 0$ $\Rightarrow$ lokalt minimum i $x = 1$, $f(1) = 0$

Kilde: Eksamen H2023, Oppgave 2 (tilsvarende type)

Eksempel: Derivasjon med kvotientregel og tangentlinje

Oppgave: Gitt $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1}$. Deriver funksjonen og finn tangentlinjen i $x = 2$.

Losning:

Kvotientregelen: $f'(x) = \frac{2x \cdot (x+1) - (x^2-1) \cdot 1}{(x+1)^2}$

Teller: $2x^2 + 2x - x^2 + 1 = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$

$f'(x) = \frac{(x+1)^2}{(x+1)^2} = 1$ for $x \neq -1$

Alternativt: $\frac{x^2 - 1}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = x - 1$ for $x \neq -1$, sa $f'(x) = 1$

Tangentlinje i $x = 2$: $f(2) = \frac{4-1}{3} = 1$, $f'(2) = 1$

$$y = 1 + 1 \cdot (x - 2) = x - 1$$

Tips: Forenkle alltid funksjonen for du deriverer! Her kunne vi forenkle brokuttrykket til $x - 1$ og slippe kvotientregelen helt.

Kilde: Eksamen H2023, Oppgave 1a (tilsvarende type)

Studieguide: Derivasjon