Oversikt

Algebra utgjør fundamentet i MET 2910. Oppgave 1 på eksamen starter nesten alltid med ren algebra: deriver funksjoner, los likninger, los ulikheter, beregn integraler. Behersker du ikke potensregler og logaritmeregler, far du problemer i alle de andre temaene.

Potensregler

Potensreglene brukes kontinuerlig gjennom hele kurset, særlig ved derivasjon og integrasjon. De viktigste:

$$a^n \cdot a^m = a^{n+m} \qquad \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} \qquad (a^n)^m = a^{n \cdot m}$$

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad a^{1/2} = \sqrt{a} \qquad (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$

Et vanlig krav på eksamen er a skrive om uttrykk for derivasjon. For eksempel må $\frac{4}{x^3}$ skrives som $4x^{-3}$ og $\sqrt{3x + e^x}$ som $(3x + e^x)^{1/2}$ for du kan derivere.

Logaritmeregler

Den naturlige logaritmen $\ln$ og eksponentialfunksjonen $e^x$ er inverse funksjoner: $e^{\ln x} = x$ og $\ln(e^x) = x$. Viktige regneregler:

$$\ln(a \cdot b) = \ln a + \ln b \qquad \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b \qquad \ln(a^x) = x \ln a$$

Husk også: $\ln 1 = 0$ og $\ln e = 1$.

Likninger

Forstegradslikninger loses ved standard omforming. Vår på broksuttrykk -- multipliser med fellesnevner for å fjerne brokene.

Andregradslikninger $ax^2 + bx + c = 0$ loses med abc-formelen:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Diskriminanten $D = b^2 - 4ac$ avgjør antall løsninger: $D > 0$ gir to løsninger, $D = 0$ gir en løsning, $D < 0$ gir ingen reelle løsninger.

Eksponential- og logaritmelikninger: Likninger som $\ln(4x) = 8 + \ln 2$ loses ved å bruke logaritmereglene til å samle alle ledd. For eksempel: $\ln(4x) - \ln 2 = 8$, altså $\ln(2x) = 8$, som gir $2x = e^8$ og $x = \frac{e^8}{2}$.

Ulikheter

Ulikheter loses i fem steg:

Flytt alt til en side slik at høyre side blir 0
Faktoriser venstre side (eller finn nullpunktene)
Tegn et fortegnsskjema med nullpunktene på en tallinje
Bestem fortegnet til hver faktor i hvert intervall
Les av løsningen fra totalfortegnet

For brokulikheter som $\frac{x+1}{x-1} > \frac{5}{3x-3}$, flytt alt til en side og finn fellesnevner for du lager fortegnsskjema. Husk at nevneren ikke kan være null!

Eksempel: Løsning av andregradslikning med abc-formelen

Oppgave: Los likningen $x^2 - 6x = 6 - x$.

Løsning:

Flytt alt til venstre side: $x^2 - 6x - 6 + x = 0$

Forenkle: $x^2 - 5x - 6 = 0$

Identifiser koeffisientene: $a = 1$, $b = -5$, $c = -6$

Beregn diskriminanten: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$

$$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 7}{2}$$

$$x_1 = \frac{5 + 7}{2} = 6 \qquad x_2 = \frac{5 - 7}{2} = -1$$

Losningene er $x = 6$ og $x = -1$. Merk: Du kan også faktorisere direkte: $x^2 - 5x - 6 = (x-6)(x+1) = 0$.

Eksempel: Fortegnsskjema for ulikhet

Oppgave: Los ulikheten $-\frac{1}{2}(x^2 - 4x - 5) \leq 0$.

Løsning:

Multipliser begge sider med $-2$ (snur ulikhetstegnet): $x^2 - 4x - 5 \geq 0$

Faktoriser: $x^2 - 4x - 5 = (x-5)(x+1)$

Nullpunkter: $x = 5$ og $x = -1$

Fortegnsskjema:
$x < -1$: $(x-5) < 0$ og $(x+1) < 0$, produkt $> 0$ $\checkmark$
$-1 < x < 5$: $(x-5) < 0$ og $(x+1) > 0$, produkt $< 0$
$x > 5$: $(x-5) > 0$ og $(x+1) > 0$, produkt $> 0$ $\checkmark$

Løsning (inkludert likhet): $x \leq -1$ eller $x \geq 5$

Studieguide: Algebra

Studieguide: Algebra