MET 2910 · BI

Studieguide for MET 2910 Matematikk for økonomer

Komplett pensumoversikt for matematikk for økonomer ved BI — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.

Introduksjon

Eksamen i Matematikk for økonomer er en skriftlig skoleeksamen på fem timer. Du får et formelark på to sider vedlagt oppgavesettet og kan bruke kalkulator, men utregningen må stå på arket: vis mellomregningene. Et svar som bare bygger på kalkulatoren, gir ikke full uttelling. Det er ingen flervalg; hvert delpunkt er en utregning eller en begrunnelse.

Oppgavesettet følger et nesten fast skjelett:

Teknikkbatteri (Oppgave 1): deriver to til fire funksjoner, løs likninger (minst én med $e^x$ eller $\ln x$ ), løs ulikheter (som regel én brøkulikhet) og regn ut to integraler.
Funksjonsdrøfting: én funksjon gjennom nullpunkter og fortegn, monotoni og ekstremalpunkter, konveksitet og vendepunkter, skisse — ofte med globale ekstremalpunkter på et lukket intervall eller areal.
Finans: annuitetslån med terminbeløp og renter og avdrag i første termin, pluss én variant: restgjeld, renteendring, månedlige terminer, sparing eller tid.
Optimering med to variabler: vis at profittfunksjonen er gitt, finn stasjonært punkt, klassifiser med $AC-B^2$ , og løs så problemet med en lineær bibetingelse som $x+y=k$ .
Siste oppgave: oftest et lineært likningssystem eller en oppgave der du leser av og drøfter en graf; noen ganger er det profittoppgaven med to varer. Elastisitet kommer, når den kommer, som en egen oppgave foran profittoppgaven.

De fire første delene har stått på hver eneste eksamen og bærer det meste av poengene. Guiden bygger fra grunnteknikken og opp mot de store oppgavene: først algebra, funksjonsanalyse, derivasjon og integrasjon, så økonomiske anvendelser med én vare og elastisitet, deretter finans og optimering med to variabler, og til slutt likningssystemer. Hva som teller mest, står under eksamensstrategi. Hver seksjon starter med hvordan temaet kommer på eksamen, gir metoden steg for steg, og regner eksempler i samme form som eksamensoppgavene — med egne tall.

Algebra

Eksamensrelevant

Algebradelen av Oppgave 1: minst én eksponential- eller ln-likning hver gang, en brøkulikhet med fortegnsskjema nesten hver gang, andregrads- og polynomulikheter, likninger med $x$ i nevneren, og i Del 1 faktorisering, brøk og rette linjer.

Slik kommer det på eksamen

Oppgave 1 starter hver gang med et teknikkbatteri. Algebradelen er to til fire likninger og to ulikheter, og alle skal løses med full føring. Minst én av likningene er en eksponential- eller ln-likning — hver gang. Den ene ulikheten er nesten alltid en brøkulikhet som skal løses med fortegnsskjema. Andregradslikninger og andregrads- eller polynomulikheter kommer ofte, og likninger med $x$ i nevneren har vært vanlige. I Del 1 og kontrollprøvene kommer i tillegg faktorisering, brøkforkorting og rette linjer.

1. Eksponentiallikninger

Isoler potensen: få $e^{\ldots}$ alene på én side.
Ta $\ln$ på begge sider: $e^{u}=c \iff u=\ln c$ (bare når $c\gt 0$ ).
Løs for $x$ , gi eksakt svar og desimalverdi.

Eksempel: $3e^{2x}-5=7$ gir $e^{2x}=4$ , $2x=\ln 4$ og $x=\tfrac12\ln 4=\ln 2\approx0{,}693$ . Står $e^{x}$ og $e^{2x}$ i samme likning, bruk $u=e^x$ , så $e^{2x}=u^2$ . Er likningen et produkt lik 0, for eksempel $e^x(x^2-4)=0$ , gir bare den andre faktoren løsninger, fordi $e^x\gt 0$ .

Eksempel 1: Andregradslikning i $e^x$

Oppgave: Løs likningen $e^{2x}-5e^{x}+6=0$ .

Sett $u=e^x$ . Da er $e^{2x}=(e^x)^2=u^2$ , og likningen blir $u^2-5u+6=0$ .
abc-formelen eller faktorisering: $(u-2)(u-3)=0$ , så $u=2$ eller $u=3$ .
Tilbake til $x$ : $e^x=2$ gir $x=\ln 2$ , og $e^x=3$ gir $x=\ln 3$ . Begge $u$ -verdiene er positive, så begge gir løsning.

Svar: $x=\ln 2\approx0{,}693$ eller $x=\ln 3\approx1{,}099$ .

2. ln-likninger

Skriv eventuelle summer av logaritmer som én logaritme: $\ln a+\ln b=\ln(ab)$ , $\ln a-\ln b=\ln\tfrac ab$ .
Isoler $\ln(\ldots)$ og bruk $\ln u=c\iff u=e^c$ , eller $\ln u=\ln v\iff u=v$ .
Sjekk at alt inni logaritmene er positivt for hver løsning. En løsning som gir $\ln$ av et negativt tall, forkastes.

Eksempel: $\ln(2x-1)=3$ gir $2x-1=e^3$ og $x=\tfrac{e^3+1}{2}\approx10{,}54$ .

Eksempel 2: Sum av logaritmer

Oppgave: Løs likningen $\ln x+\ln(x+2)=\ln 8$ .

Venstre side er én logaritme: $\ln\big(x(x+2)\big)=\ln 8$ .
Da er $x(x+2)=8$ , altså $x^2+2x-8=0$ .
Faktorisering: $(x+4)(x-2)=0$ , så $x=-4$ eller $x=2$ .
$x=-4$ gir $\ln(-4)$ , som ikke er definert. Den løsningen forkastes. $x=2$ gir $\ln 2+\ln 4=\ln 8$ .

Svar: $x=2$ .

3. Brøkulikheter med fortegnsskjema

Flytt alt over på venstre side, så høyre side er 0.
Skriv venstre side som én brøk med fellesnevner, og trekk sammen telleren.
Faktoriser teller og nevner.
Fortegnsskjema: én linje per faktor, nederst hele brøken. Nevnerens nullpunkt markeres med kryss — brøken er ikke definert der.
Les av svaret. Tellerens nullpunkt er med når ulikheten er $\ge$ eller $\le$ ; nevnerens er aldri med.

Eksempel 3: Brøkulikhet

Oppgave: Løs ulikheten $\dfrac{x+3}{x-2}\ge 2$ .

Trekk fra 2 på begge sider: $\dfrac{x+3}{x-2}-2\ge0$ .
Fellesnevner: $\frac{x+3-2(x-2)}{x-2}\ge0$ $\frac{7-x}{x-2}\ge0$
Telleren $7-x$ er null i $x=7$ , nevneren $x-2$ er null i $x=2$ .
Fortegnsskjemaet (under) viser at brøken er positiv mellom 2 og 7, og negativ ellers.
$x=7$ er med (brøken er 0), $x=2$ er ikke med (brøken er ikke definert).

Svar: $2\lt x\le7$ .

Fortegnsskjema for (7 − x)/(x − 2) med linje for telleren 7 − x, linje for 1/(x − 2) og brøken nederst: positiv for 2 < x < 7, null i x = 7 og ikke definert i x = 2

4. Andregrads- og polynomulikheter

Samme metode uten nevner: faktoriser og lag fortegnsskjema. $x^2-x-6\lt 0$ blir $(x-3)(x+2)\lt 0$ , som gir $-2\lt x\lt 3$ . Andregradslikninger løses med abc-formelen fra formelarket; skriv formelen, sett inn og regn ut.

Eksempel 4: Tredjegradsulikhet

Oppgave: Løs ulikheten $x^3-4x\ge0$ .

Faktoriser ut $x$ : $x^3-4x=x(x^2-4)$ .
Tredje kvadratsetning: $x^2-4=(x-2)(x+2)$ , så $x^3-4x=x(x-2)(x+2)$ .
Nullpunktene er $-2$ , $0$ og $2$ . Fortegnsskjema med tre linjer: $x+2$ , $x$ og $x-2$ .
Produktet er negativt for $x\lt -2$ , positivt for $-2\lt x\lt 0$ , negativt for $0\lt x\lt 2$ og positivt for $x\gt 2$ .
Nullpunktene er med, fordi ulikheten er $\ge$ .

Svar: $-2\le x\le0$ eller $x\ge2$ .

5. Likninger med $x$ i nevneren

Skriv først opp hvilke $x$ som gir nevner 0. Gang så med fellesnevneren og løs. Til slutt forkastes løsninger som gjør en nevner lik 0. Eksempel: $\dfrac{x^2}{x-2}=\dfrac{4}{x-2}$ krever $x\ne2$ . Ganger vi med $x-2$ , får vi $x^2=4$ , altså $x=\pm2$ . Bare $x=-2$ er gyldig.

6. Faktorisering, brøk og rette linjer (Del 1)

Faktorisering: finn nullpunktene med abc-formelen og skriv $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ . Eksempel: $2x^2-2x-12$ har nullpunktene $3$ og $-2$ , så $2x^2-2x-12=2(x-3)(x+2)$ .
Brøk: faktoriser teller og nevner før du forkorter: $\dfrac{x^2-9}{x^2+3x}=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)}=\dfrac{x-3}{x}$ .
Rett linje gjennom to punkter: $a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ , så ettpunktsformelen $y-y_1=a(x-x_1)$ . Gjennom $(1,3)$ og $(4,12)$ : $a=\tfrac{9}{3}=3$ , og $y=3x$ .

Her går det galt

Å gange over med nevneren i en ulikhet. $x-2$ kan være negativ, og da snur ulikhetstegnet. Samle på én brøk og bruk fortegnsskjema i stedet.
Svar uten fortegnsskjema. Sensor forventer skjemaet som føring for alle ulikheter: $x$ -linjen øverst, én linje per faktor.

Nøkkelformler

• $e^{u}=c\iff u=\ln c$ for $c\gt 0$ , og $\ln u=c\iff u=e^c$ (ln- og $e^x$ -reglene står på formelarket)
• $\ln a+\ln b=\ln(ab)$ , $\ln a-\ln b=\ln\tfrac ab$ , $\ln a^r=r\ln a$ (formelarket)
•abc-formelen $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ og $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ (formelarket)
•Stigningstall $a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ og ettpunktsformelen $y-y_1=a(x-x_1)$ (formelarket)

Vanlige feil

⚠️Gange med en nevner som kan være negativ i en ulikhet — ulikhetstegnet kan snu. Samle på én brøk og bruk fortegnsskjema.
⚠️Ta med nevnerens nullpunkt i svaret på en brøkulikhet med $\ge$ eller $\le$ .
⚠️Beholde en løsning av en ln-likning som gir $\ln$ av et negativt tall.
⚠️Glemme den ene løsningen når $e^{2x}$ og $e^x$ står i samme likning — substitusjonen $u=e^x$ gir to $u$ -verdier.

Eksamenstips

💡Gi både eksakt svar ( $\ln 2$ ) og desimalverdi ( $\approx0{,}693$ ) på eksponential- og ln-likninger.
💡Brøkulikheten: vis steget der alt samles på én brøk, og lag fortegnsskjema med kryss for nevnerens nullpunkt.
💡Skriv opp abc-formelen før du setter inn — det er ikke nok å oppgi røttene fra kalkulatoren.
💡Sett prøve på ln-likninger og likninger med $x$ i nevneren, og skriv hvilken løsning som forkastes og hvorfor.

Laster...

Laster…