Ny notasjon i dette kapittelet:

$z_i$ = instrumentvariabel | $\hat{x}_i$ = predikert verdi av $x$ fra førstesteg

$\pi_0, \pi_1$ = koeffisienter i førstesteg-regresjon ($x = \pi_0 + \pi_1 z + v$)

$\hat{\beta}_1^{\text{IV}}$ eller $\hat{\beta}_1^{\text{2SLS}}$ = IV-estimatoren

2SLS = Two-Stage Least Squares (to-trinns minste kvadrat)

$\text{Cov}(z, x) \neq 0$ = relevanskrav | $\text{Cov}(z, u) = 0$ = eksogenitetskrav

$J$ = Sargans overidentifikasjonstest | Stock-Yogo = test for svake instrumenter

Endogenitetsproblemet

Endogenitet oppstår når Cov(x, u) ≠ 0, altså når forklaringsvariabelen korrelerer med feilleddet. Vanlige årsaker: utelatte variabler, simultanitet (x påvirker y og y påvirker x) og målefeil i x. Endogenitet gjør OLS-estimatene forventningsskjeve og inkonsistente.

Eksempel: Logikken bak 2SLS-estimering

Vi vil estimere $y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i$ der $x_i$ er endogen. Vi har et instrument $z_i$ med $\text{Cov}(z_i, x_i) \neq 0$ og $\text{Cov}(z_i, \epsilon_i) = 0$. Forklar de to stegene i 2SLS.

Løsning:

\textbf{Steg 1:} \quad x_i = \pi_0 + \pi_1 z_i + v_i \implies \hat{x}_i = \hat{\pi}_0 + \hat{\pi}_1 z_i

$\hat{x}_i$ er den eksogene komponenten av $x_i$, fri fra korrelasjon med $\epsilon_i$

\textbf{Steg 2:} \quad y_i = \beta_0 + \beta_1 \hat{x}_i + \epsilon_i^* \implies \hat{\beta}_1^{\text{2SLS}}

\hat{\beta}_1^{\text{IV}} = \frac{\text{Cov}(z_i, y_i)}{\text{Cov}(z_i, x_i)} = \frac{\hat{\pi}_1^{\text{redusert form}}}{\hat{\pi}_1^{\text{første steg}}}

I steg 1 renses $x_i$ for endogenitet ved å projisere på instrumentet $z_i$. Steg 2 bruker den rensede variabelen $\hat{x}_i$ som er ukorrelert med feilleddet. 2SLS er konsistent selv når OLS er skjev, forutsatt at instrumentbetingelsene holder.

Eksempel: Beregning av IV-estimator

Vi har $n = 4$ observasjoner med $y = (6, 9, 11, 14)$, $x = (2, 4, 5, 7)$ og instrument $z = (1, 2, 3, 4)$. Beregn IV-estimatoren $\hat{\beta}_1^{\text{IV}}$.

Løsning:

\bar{z} = \frac{1+2+3+4}{4} = 2{,}5, \quad \bar{y} = \frac{6+9+11+14}{4} = 10, \quad \bar{x} = \frac{2+4+5+7}{4} = 4{,}5

IV-estimatoren bruker kovariansen mellom $z$ og $y$ delt på kovariansen mellom $z$ og $x$

\sum(z_i - \bar{z})(y_i - \bar{y}) = (-1{,}5)(-4) + (-0{,}5)(-1) + (0{,}5)(1) + (1{,}5)(4) = 6 + 0{,}5 + 0{,}5 + 6 = 13

\sum(z_i - \bar{z})(x_i - \bar{x}) = (-1{,}5)(-2{,}5) + (-0{,}5)(-0{,}5) + (0{,}5)(0{,}5) + (1{,}5)(2{,}5) = 3{,}75 + 0{,}25 + 0{,}25 + 3{,}75 = 8

\hat{\beta}_1^{\text{IV}} = \frac{\sum(z_i - \bar{z})(y_i - \bar{y})}{\sum(z_i - \bar{z})(x_i - \bar{x})} = \frac{13}{8} = 1{,}625

IV-estimatoren $\hat{\beta}_1^{\text{IV}} = 1{,}625$ identifiserer den kausale effekten av $x$ på $y$ ved bruk av variasjon i $z$ som er eksogen. Dersom $x$ er eksogen vil IV og OLS gi lignende resultater; store avvik indikerer endogenitet.

Instrumentvariabelkrav

Et gyldig instrument z må oppfylle to betingelser:

Relevans: Cov(z, x) ≠ 0 – instrumentet må korrelere med den endogene variabelen. Kan testes med F-test i førstesteg-regresjonen (F > 10 som tommelregel).
Eksogenitet (eksklusjonsrestriksjonen): Cov(z, u) = 0 – instrumentet påvirker y kun gjennom x. Kan ikke testes direkte; må argumenteres teoretisk.

To-trinns minste kvadrat (2SLS)

2SLS gjennomføres i to steg:

Steg 1: Regresser x på z (og eventuelt kontrollvariabler): $x = \pi_0 + \pi_1 z + v$. Lagre predikerte verdier x̂.
Steg 2: Regresser y på x̂: $y = \beta_0 + \beta_1 \hat{x} + u$. Koeffisienten b₁^IV er konsistent dersom instrumentet er gyldig.

Svake instrumenter

Dersom instrumentet er svakt korrelert med x (F-statistikk i førstesteg < 10), blir IV-estimatoren forventningsskjev mot OLS med svært store standardfeil. Svake instrumenter er et alvorlig problem som kan gjøre IV verre enn OLS. Stock-Yogo-testen gir kritiske verdier for å vurdere instrumentstyrke.

Overidentifikasjon

Med flere instrumenter enn endogene variabler er modellen overidentifisert. Da kan vi bruke Sargans J-test (eller Hansen-testen med robuste standardfeil) for å teste eksklusjonsrestriksjonen: H₀: alle instrumenter er eksogene. Forkasting tyder på at minst ett instrument er ugyldig. Men testen har lav styrke og kan ikke avsløre om alle instrumenter er ugyldige.

Eksempler på instrumenter

Klassiske eksempler: avstand til college som instrument for utdanning (Card, 1993), fødselsårskvartal som instrument for utdanningslengde (Angrist og Krueger, 1991). Nøkkelen er alltid å argumentere overbevisende for at eksklusjonsrestriksjonen holder.

Eksempel: Første-steg $F$-statistikk og instrumentrelevans

Vi estimerer effekten av utdanning på lønn, men mistenker at utdanning ($x$) er endogen. Vi bruker avstand til nærmeste høyskole ($z$) som instrument. Første-steg regresjonen gir $\hat{x}_i = 12{,}4 - 0{,}18 z_i$ med $F$-statistikk $= 18{,}6$ og $n = 120$. Vurder instrumentets relevans.

Løsning:

H_0^{\text{relevans}}: \pi_1 = 0 \quad (\text{instrument er irrelevant})

Tommelfingerregel: $F > 10$ for sterkt instrument (Staiger og Stock, 1997)

F = 18{,}6 > 10

t = \sqrt{F} = \sqrt{18{,}6} \approx 4{,}31

Med $F = 18{,}6 > 10$ konkluderer vi at instrumentet er sterkt og relevant. Avstand til høyskole påvirker signifikant utdanningsnivå. Et svakt instrument ($F < 10$) ville gitt upålitelige 2SLS-estimater. Eksogenitetsbetingelsen $\text{Cov}(z, \epsilon) = 0$ kan ikke testes, men er rimelig dersom bosted ikke er direkte korrelert med lønn utover gjennom utdanning.

Studieguide: Instrumentvariabler