For hendelser $A$ og $B$:

Komplement: $P(A^c) = 1 - P(A)$
Union: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
Disjunkte hendelser: Hvis $A \cap B = \emptyset$, så $P(A \cap B) = 0$ og $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Sannsynligheten for $A$ gitt at $B$ har inntruffet:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Dette gir multiplikasjonsregelen: $P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)$.

$$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$$

Hvis $B_1, B_2, \ldots, B_k$ partisjonerer utfallsrommet:

$$P(A) = \sum_{i=1}^{k} P(A|B_i) \cdot P(B_i)$$

Oppgave: La $Z$ være standard normalfordelt. Definer $A: Z \le 0{,}5$ og $B: 1{,}5 \le Z \le 2{,}5$.

Løsning: Fra normalfordelingstabellen:

$$P(A) = P(Z \le 0{,}5) = 0{,}6915$$

$$P(B) = P(Z \le 2{,}5) - P(Z \le 1{,}5) = 0{,}9938 - 0{,}9332 = 0{,}0606$$

$A$ og $B$ er disjunkte fordi $Z \le 0{,}5$ og $Z \ge 1{,}5$ ikke kan inntreffe samtidig:

$$P(A \cap B) = 0$$

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0{,}6915 + 0{,}0606 = 0{,}7521$$

Oppgave: Vis at dersom $A$ og $B$ er disjunkte, så er $P(B^c|A^c) = 1 - \frac{P(B)}{P(A^c)}$.

Løsning: Vi bruker definisjonen av betinget sannsynlighet:

$$P(B^c|A^c) = \frac{P(B^c \cap A^c)}{P(A^c)}$$

Siden $A$ og $B$ er disjunkte: $B \subseteq A^c$, så $B \cap A^c = B$. Dermed $B^c \cap A^c = A^c \setminus B$, og:

$$P(B^c \cap A^c) = P(A^c) - P(B)$$

$$P(B^c|A^c) = \frac{P(A^c) - P(B)}{P(A^c)} = 1 - \frac{P(B)}{P(A^c)}$$

Studieguide: Sannsynlighet