Hypotesetestingens grunnstruktur

Vi formulerer to hypoteser:

$H_0$ (nullhypotese): Status quo, "ingen effekt"
$H_1$ (alternativhypotese): Det vi prøver å vise

Vi bestemmer signifikansnivå $\alpha$ (vanligvis 0,05 eller 0,01), beregner en testobservator, og forkaster $H_0$ hvis testobservatoren er ekstrem nok.

To metoder for konklusjon

Kritisk verdi-metoden: Forkast $H_0$ hvis testobservatoren overstiger en kritisk verdi
p-verdi-metoden: Forkast $H_0$ hvis p-verdien er mindre enn $\alpha$

Tester for forventning $\mu$ (t-test)

$$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s_X/\sqrt{n}}$$

med $df = n - 1$ frihetsgrader.

Tester for andel $p$ (z-test)

$$z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{p_0(1 - p_0)/n}}$$

under $H_0$. Krav: $np_0 \geq 5$ og $n(1-p_0) \geq 5$.

Type I og Type II feil

Type I: Forkaste $H_0$ når den er sann (sannsynlighet $\alpha$)
Type II: Beholde $H_0$ når den er falsk (sannsynlighet $\beta$)

Eksempel 1: t-test for gjennomsnitt (ensidig)

Oppgave: En produsent hevder at gjennomsnittlig holdbarhet på et produkt er minst 24 måneder. En kvalitetstest med $n = 28$ produkter ga $\bar{x} = 22{,}9$ og $\sum(x_i - \bar{x})^2 = 65{,}40$. Test om holdbarheten er kortere enn 24 måneder. $\alpha = 0{,}05$.

Løsning:

Hypoteser: $H_0: \mu = 24$, $H_1: \mu < 24$ (ensidig venstre)

$$s_X = \sqrt{\frac{65{,}40}{27}} = \sqrt{2{,}422} \approx 1{,}557$$

$$t = \frac{22{,}9 - 24}{1{,}557/\sqrt{28}} = \frac{-1{,}1}{0{,}294} \approx -3{,}74$$

Kritisk verdi: $t_{0{,}05;\,27} \approx -1{,}703$ (venstrehale).

$t = -3{,}74 < -1{,}703$ → forkast $H_0$. Det er statistisk signifikant evidens for at holdbarheten er kortere enn 24 måneder.

Eksempel 2: z-test for populasjonsandel

Oppgave: 96 av 200 respondenter sier at de er fornøyde med en tjeneste. Test om flertallet (> 50 %) er fornøyde. $\alpha = 0{,}05$.

Løsning: $H_0: p = 0{,}50$, $H_1: p > 0{,}50$ (ensidig høyre)

$$\hat{p} = \frac{96}{200} = 0{,}48$$

$$z = \frac{0{,}48 - 0{,}50}{\sqrt{0{,}50 \cdot 0{,}50 / 200}} = \frac{-0{,}02}{0{,}03536} \approx -0{,}566$$

Kritisk verdi: $z_{0{,}05} = 1{,}645$ (høyrehale).

$z = -0{,}566 < 1{,}645$ → behold $H_0$. Vi har ikke evidens for at flertallet er fornøyde. (Faktisk er observert andel under 50 %.)

Eksempel 3: p-verdi og R-kode

Oppgave: Ensidig venstrehaletest med $t = -2{,}45$, $df = 24$. Hvilken R-kode beregner p-verdien?

Løsning:

pt(-2.45, df = 24, lower.tail = TRUE)

Forklaring: Venstrehaletest betyr $H_1: \mu < \mu_0$. p-verdien er $P(T \leq t)$ under $H_0$. Med lower.tail = TRUE får vi arealet til venstre for $-2{,}45$ under t-fordelingen med 24 frihetsgrader. Resultatet ≈ 0,011.

Studieguide: Hypotesetesting