Oversikt

Deskriptiv statistikk handler om å oppsummere et datasett med noen få nøgletal. Vi skiller mellom sentralmål (hvor ligger dataene?) og spredningsmål (hvor spredt er de?). Disse målene er byggesteinene for alt annet i statistikken.

Sentralmål

Gjennomsnitt (aritmetisk middel) er summen av alle verdier delt på antall observasjoner:

$$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$$

Gjennomsnittet er sensitivt for ekstremverdier (uteliggere). En enkelt veldig høy eller lav verdi kan trekke gjennomsnittet kraftig i sin retning.

Median er den midterste verdien når dataene er sortert i stigende rekkefølge:

$$\tilde{x} = \begin{cases} x_{(n+1)/2} & \text{hvis } n \text{ er oddetall} \\ \frac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2} & \text{hvis } n \text{ er partall} \end{cases}$$

Medianen er robust mot uteliggere og gir ofte et bedre bilde av "typisk verdi" i skjeve fordelinger.

Spredningsmål

Utvalgsvarians måler gjennomsnittlig kvadratisk avvik fra gjennomsnittet. Vi deler på $n-1$ (ikke $n$) for å få en forventningsrett estimator:

$$s_X^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$$

Utvalgets standardavvik er kvadratroten av variansen og har samme måleenhet som dataene:

$$s_X = \sqrt{s_X^2}$$

Intuisjon: Hvorfor $n-1$?

Vi deler på $n-1$ i stedet for $n$ fordi vi bruker $\bar{x}$ (som selv er estimert fra dataene) i stedet for den sanne populasjonsforventningen $\mu$. Dette koster oss en "frihetsgrad". Hadde vi kjent $\mu$, ville vi delt på $n$. Denne korreksjonen (Bessels korreksjon) sikrer at $E(S_X^2) = \sigma^2$, dvs. at utvalgsvariansen er en forventningsrett estimator for populasjonsvariansen.

Eksempel 1: Beregn gjennomsnitt og varians

Oppgave: Et utvalg av $n = 24$ leveringstider (i timer) ga: $\sum x_i = 168{,}00$ og $\sum(x_i - \bar{x})^2 = 92{,}00$. Beregn gjennomsnitt og standardavvik.

Løsning:

$$\bar{x} = \frac{168{,}00}{24} = 7{,}00 \text{ timer}$$

$$s_X^2 = \frac{92{,}00}{24 - 1} = \frac{92{,}00}{23} = 4{,}000$$

$$s_X = \sqrt{4{,}000} = 2{,}00 \text{ timer}$$

Eksempel 2: Median av sortert datasett

Oppgave: Gitt den sorterte datasekvensen: $2, 5, 7, 9, 11, 14, 18, 22$ ($n = 8$, partall). Finn medianen.

Løsning: Siden $n = 8$ er partall, er medianen gjennomsnittet av observasjon nr. $n/2 = 4$ og $n/2 + 1 = 5$:

$$\tilde{x} = \frac{x_4 + x_5}{2} = \frac{9 + 11}{2} = 10$$

I R: median(c(2, 5, 7, 9, 11, 14, 18, 22)) eller manuell formel (x[n/2] + x[(n/2)+1])/2.

Eksempel 3: Beregne ventetidsstatistikk

Oppgave: En kundeservice målte ventetiden (i sekunder) for $n = 40$ kunder. Oppsummeringsdata: $\sum x_i = 1\,920{,}00$, $\sum(x_i - \bar{x})^2 = 6\,084{,}00$. Beregn gjennomsnitt og standardavvik.

Løsning:

$$\bar{x} = \frac{1\,920{,}00}{40} = 48{,}00 \text{ sekunder}$$

$$s_X^2 = \frac{6\,084{,}00}{39} = 156{,}00$$

Studieguide: Deskriptiv statistikk