Binomisk fordeling

Den binomiske fordelingen brukes når vi har:

Et fast antall $n$ uavhengige forsøk
To mulige utfall i hvert forsøk: «suksess» eller «fiasko»
Konstant suksessannsynlighet $p$ i hvert forsøk

Vi skriver $X \sim Bin(n, p)$, der $X$ er antall suksesser.

Punktsannsynlighet

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

der $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ er binomialkoeffisienten.

Forventning og varians

$$E(X) = np, \quad Var(X) = np(1-p)$$

Kumulative sannsynligheter

$$P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}$$

R-funksjoner

dbinom(k, size=n, prob=p): Punktsannsynlighet $P(X = k)$
pbinom(k, size=n, prob=p): Kumulativ $P(X \le k)$
pbinom(k, size=n, prob=p, lower.tail=FALSE): $P(X > k)$
qbinom(p, size=n, prob=p): Kvantil

Eksempel 1: Defekte produkter

Oppgave: En produsent har en feilprosent på 4 %. Et tilfeldig utvalg på 25 produkter velges. Hva er sannsynligheten for nøyaktig 2 defekte?

Løsning: $X \sim Bin(25, 0{,}04)$

$$P(X = 2) = \binom{25}{2} (0{,}04)^2 (0{,}96)^{23} = 300 \cdot 0{,}0016 \cdot 0{,}3939 \approx 0{,}189$$

I R: dbinom(2, size=25, prob=0.04)

Eksempel 2: Sjeldent utfall i utvalg

Oppgave (eksamenstypisk): En spesiell egenskap forekommer hos kun 2 % av befolkningen. Vi trekker tilfeldig 22 personer. Hva er sannsynligheten for at nøyaktig 2 personer har egenskapen?

Løsning: La $X$ være antall personer med egenskapen. Da er $X \sim Bin(22, 0{,}02)$.

$$P(X = 2) = \binom{22}{2} (0{,}02)^2 (0{,}98)^{20} = 231 \cdot 0{,}0004 \cdot 0{,}6676 \approx 0{,}0617$$

I R: dbinom(2, size=22, prob=0.02)

Eksempel 3: Minst én suksess

Oppgave: 7 personer trekkes tilfeldig. Sannsynligheten for at en person har en sjelden egenskap er 0,02. Hva er sannsynligheten for at minst én av dem har egenskapen?

Løsning:

$$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (0{,}98)^7 \approx 1 - 0{,}868 = 0{,}132$$

I R: 1 - dbinom(0, size=7, prob=0.02) eller pbinom(0, size=7, prob=0.02, lower.tail=FALSE)

Studieguide: Binomisk fordeling