Nar bruker vi binomisk fordeling?

Binomisk fordeling modellerer situasjoner der vi har:

Et fast antall forsok $n$
Hvert forsok har to mulige utfall: suksess (med sannsynlighet $p$) eller fiasko ($1-p$)
Forsokene er uavhengige
Sannsynligheten $p$ er konstant fra forsok til forsok

Vi skriver $X \sim \text{Bin}(n, p)$, der $X$ er antall suksesser.

Sannsynligheten for noyaktig k suksesser

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

der $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ er binomialkoeffisienten.

Forventning og varians

$$E(X) = np, \quad Var(X) = np(1-p)$$

Tilknytning til Bernoulli-forsok

Hvert enkelt forsok er et Bernoulli-forsok med $P(X_i = 1) = p$ og $P(X_i = 0) = 1 - p$. Den binomiske variabelen er summen av $n$ uavhengige Bernoulli-variabler: $X = \sum_{i=1}^n X_i$.

For en enkelt Bernoulli-variabel: $E(X_i) = p$, $Var(X_i) = p(1-p)$.

Eksempel 1: Mensa-kvalifisering

Oppgave (V2025): Topp 2% av befolkningen kvalifiserer for Mensa. Vi trekker tilfeldig 18 personer. Hva er sannsynligheten for at noyaktig 2 tilfredsstiller kravet?

Losning: La $X$ = antall som kvalifiserer. $X \sim \text{Bin}(18, 0.02)$.

$$P(X = 2) = \binom{18}{2} \cdot 0.02^2 \cdot 0.98^{16}$$

I R: dbinom(2, size = 18, prob = 0.02)

Merk: Vi bruker dbinom ("d" for density/punktsannsynlighet) for noyaktig-sporsmal, ikke pbinom ("p" for kumulativ).

Eksempel 2: Binomisk i kontekst av andel

Oppgave (V2024): IQ er normalfordelt med $\mu = 100$, $\sigma^2 = 225$ (dvs. $\sigma = 15$). Topp 2% kvalifiserer for Mensa. Fem personer trekkes. Hva er sannsynligheten for at noyaktig en kvalifiserer?

Losning: Forst finner vi sannsynligheten for at en tilfeldig person kvalifiserer. Topp 2% betyr $P(\text{kvalifiserer}) = 0.02$.

La $X$ = antall som kvalifiserer blant 5 personer. $X \sim \text{Bin}(5, 0.02)$.

$$P(X = 1) = \binom{5}{1} \cdot 0.02^1 \cdot 0.98^4 = 5 \cdot 0.02 \cdot 0.9224 \approx 0.0922$$

Eksempel 3: dbinom vs. pbinom

Viktig distinksjon i R:

dbinom(k, n, p): $P(X = k)$ -- noyaktig $k$ suksesser
pbinom(k, n, p): $P(X \le k)$ -- opptil $k$ suksesser (kumulativ)
1 - pbinom(k, n, p): $P(X > k)$ -- mer enn $k$ suksesser

Pa eksamen V2025 var det et R-sporsmal der man matte velge mellom disse. Alternativet dbinom(2, size=18, prob=0.02) var korrekt for "noyaktig 2".

Studieguide: Binomisk fordeling

Studieguide: Binomisk fordeling