Opsjoner - grunnleggende

En kjopsopsjon (call) gir eieren rett, men ikke plikt, til a kjope et underliggende aktivum til en fastsatt pris (utovelsespris $K$) pa eller for forfall. En salgsopsjon (put) gir rett til a selge. Verdien ved forfall er:

$$C_T = \max(S_T - K, \; 0) \qquad \text{(call)}$$

$$P_T = \max(K - S_T, \; 0) \qquad \text{(put)}$$

Opsjonene har begrenset nedsiderisiko - du taper maksimalt premien du betalte. Denne egenskapen gjor opsjoner attraktive som sikringsinstrumenter: du betaler en premie for a fjerne nedsiden, men beholder oppsiden.

Viktige begreper: En opsjon er in the money nar utovelse gir positiv verdi ($S > K$ for call, $S < K$ for put), at the money nar $S = K$, og out of the money nar utovelse gir null. Europeiske opsjoner kan kun utoves pa forfallsdato, mens amerikanske kan utoves nar som helst for forfall. Pa eksamen i FIN 3521 jobber vi nesten alltid med europeiske opsjoner.

Binomisk opsjonsprising

Den binomiske modellen antar at prisen pa underliggende kan ga til en av to verdier: opp til $S_u$ eller ned til $S_d$. Vi finner opsjonsprisen ved a konstruere en risikonøytral sannsynlighet:

$$q = \frac{S_0 \cdot (1 + r_f) - S_d}{S_u - S_d}$$

Her er $q$ den risikonøytrale sannsynligheten for oppgang, $S_0$ er dagens pris, og $r_f$ er risikofri rente for perioden. Opsjonsprisen blir da:

$$C_0 = \frac{q \cdot C_u + (1 - q) \cdot C_d}{1 + r_f}$$

Denne metoden fungerer bade for calls og puts - bare bytt ut $C_u, C_d$ med $P_u, P_d$.

Intuisjon: Vi trenger ikke a vite de faktiske sannsynlighetene for opp eller ned. I stedet bruker vi en kunstig sannsynlighet ($q$) som gjor at forventet avkastning pa alle aktiva er lik risikofri rente. Dette er risikonøytral verdsettelse - en elegant snarvei som gir riktig pris i fravar av arbitrasje.

Alternativt kan man tenke pa det som en replikeringsstrategi: vi konstruerer en portefolje av underliggende og risikofritt laan som gir noyaktig samme utbetalinger som opsjonen. Siden portefoljen og opsjonen har identiske kontantstrommeretter, ma de ha samme pris (ellers arbitrasje). Den binomiske modellen gir samme svar som denne replikeringslogikken.

Praktisk tips: Pa eksamen far du alltid oppgitt de to mulige prisene ($S_u$ og $S_d$) og risikofri rente. Fremgangsmaaten er alltid: (1) beregn $q$, (2) beregn opsjonsverdier i hvert utfall, (3) diskonter med risikofri rente. Kontroller deretter med put-call-paritet.

Put-Call-Paritet

Put-call-pariteten knytter prisen pa en europeisk call og put med samme utovelsespris og forfall:

$$C - P = S_0 - \frac{K}{1 + r_f}$$

Eller ekvivalent:

$$C - P = S_0 - K \cdot e^{-rT}$$

Denne sammenhengen er en arbitrasjerelasjon - den ma holde uansett modell, uansett sannsynligheter, uansett risikoaversjon. Kjenner du tre av fire storrelser, kan du beregne den fjerde. Poenget er at en lang call + risikofritt innskudd gir identisk utbetaling som en lang put + aksjen. Derfor ma prisene vare konsistente.

Pa eksamen er put-call-pariteten et kraftig kontrollverktoy: har du beregnet call-prisen med binomisk modell, kan du bruke pariteten til a finne put-prisen direkte uten ny binomisk beregning. Spar tid og reduser feilkilder.

Spesialtilfelle: Nar utovelseskursen $K$ er lik forwardprisen $F = S_0 \cdot e^{rT}$, gir put-call-pariteten at $C = P$. Da er call og put like dyre, noe som betyr at en syntetisk forward (lang call + kort put) koster null netto.

Sikringsstrategier

Bedrifter bruker opsjoner og forwards til a sikre kontantstrommer:

Beskyttende put (protective put): Selskap med lang posisjon i varen kjoper en put. Sikrer mot prisnedgang, beholder oppsiden. Koster putpremien.
Collar: Kjop put + selg call. Sikrer mot nedgang og gir opp oppside. Nettokostnad avhenger av strikene.
Syntetisk forward: Lang call + kort put med samme $K$. Gir fast pris = $K$. Nettokostnad = $C - P$.

Eksempel 1 - Binomisk prising av call og put (basert pa H2025, oppg. 3c)

Scandic Fisheries har 1000 kg laks. Dagens pris $S_0 = 78$ kr/kg. Om 3 maneder: $S_u = 93{,}6$ eller $S_d = 62{,}4$. Risikofri 3-manedersrente $r_f = 2\%$. Utovelsespris $K = 78$.

Steg 1: Risikonøytral sannsynlighet

$$q = \frac{S_0(1+r_f) - S_d}{S_u - S_d} = \frac{78 \cdot 1{,}02 - 62{,}4}{93{,}6 - 62{,}4}$$

$$= \frac{79{,}56 - 62{,}4}{31{,}2} = \frac{17{,}16}{31{,}2} = 0{,}55$$

Steg 2: Opsjonsverdier ved forfall

Call: $C_u = \max(93{,}6 - 78, 0) = 15{,}6$, $C_d = \max(62{,}4 - 78, 0) = 0$

Put: $P_u = \max(78 - 93{,}6, 0) = 0$, $P_d = \max(78 - 62{,}4, 0) = 15{,}6$

Steg 3: Nåverdi av opsjonene

$$C_0 = \frac{0{,}55 \cdot 15{,}6 + 0{,}45 \cdot 0}{1{,}02} = \frac{8{,}58}{1{,}02} = 8{,}41 \text{ kr/kg}$$

$$P_0 = \frac{0{,}55 \cdot 0 + 0{,}45 \cdot 15{,}6}{1{,}02} = \frac{7{,}02}{1{,}02} = 6{,}88 \text{ kr/kg}$$

Kontroll med put-call-paritet:

$$C - P = S_0 - \frac{K}{1+r_f} = 78 - \frac{78}{1{,}02} = 78 - 76{,}47 = 1{,}53$$

$$C_0 - P_0 = 8{,}41 - 6{,}88 = 1{,}53 \quad \checkmark$$

Eksempel 2 - Syntetisk forward og nettokostnad (basert pa H2025, oppg. 3d-e)

Scandic onsker a selge laksen til fast pris 78 kr/kg. Strategi: kjop put (K=78) + selg call (K=78).

Verdier ved forfall:

Pris opp (93,6): Laksen selges for 93,6 men call utoves: betaler 93,6 - 78 = 15,6. Netto = 78.

Pris ned (62,4): Laksen selges for 62,4 men put utoves: far 78 - 62,4 = 15,6 ekstra. Netto = 78.

Uansett utfall mottar Scandic 78 kr/kg - en syntetisk short forward.

Nettokostnad i dag:

$$\text{Nettokostnad} = P_0 - C_0 = 6{,}88 - 8{,}41 = -1{,}53 \text{ kr/kg}$$

Negativt fortegn betyr at Scandic mottar 1,53 kr/kg netto. Dette er konsistent med at den faste prisen (78) er lavere enn forwardprisen ($S_0 \cdot (1+r_f) = 79{,}56$).

Eksempel 3 - Put-call-paritet ved forwardpris som utovelseskurs (basert pa H2025, oppg. 3e)

Nar utovelseskursen settes lik forwardprisen $F = 79{,}58$ kr/kg:

$$C - P = S_0 - \frac{K}{1+r_f} = 78 - \frac{79{,}58}{1{,}02} = 78 - 78 = 0$$

Nar $K = F$, er call og put like dyre: $C = P$. En syntetisk forward med denne strikeprisen har null nettokostnad, noe som er forventet - en forwardkontrakt koster ingenting a innga.

Studieguide: Opsjonsverdsettelse

Studieguide: Opsjonsverdsettelse