Grunnleggende opsjonsbegreper

En kjøpsopsjon (call) gir rett til å kjøpe en aksje til innløsningskursen $I$. En salgsopsjon (put) gir rett til å selge til $I$. Verdien ved forfall:

$$K_T = \max[0,\ A_T - I]$$

$$S_T = \max[0,\ I - A_T]$$

Europeiske opsjoner kan kun utøves ved forfall, mens amerikanske kan utøves når som helst.

Binomialmodellen — risikonøytral prising

I binomialmodellen kan aksjen stige til $A_{\varnothing}$ (opp) eller falle til $A_n$ (ned). Den risikonøytrale sannsynligheten for oppgang er:

$$q = \frac{A_0 \cdot (1 + r_f) - A_n}{A_{\varnothing} - A_n}$$

Opsjonens verdi i dag:

$$K_0 = \frac{q \cdot K_{\varnothing} + (1-q) \cdot K_n}{1 + r_f}$$

Tilsvarende for salgsopsjon. Nøkkelen er at vi bruker risikonøytrale sannsynligheter (ikke de faktiske) og diskonterer med risikofri rente.

Put-call-paritet

Sammenhengen mellom kjøps- og salgsopsjon med samme innløsningskurs og forfall:

$$K_0 - S_0 = A_0 - \frac{I}{1 + r_f}$$

Denne relasjonen gjelder uavhengig av modell og er et kraftig verktøy for å finne den ene opsjonen fra den andre.

Sikringsforhold (hedge ratio)

Antall opsjoner per aksje for en risikofri posisjon beregnes med formel 19:

$$m = \frac{A_0 \cdot (\varnothing - n)}{K_{\varnothing} - K_n}$$

der $\varnothing = A_{\varnothing}/A_0$ og $n = A_n/A_0$ er henholdsvis oppgangs- og nedgangsfaktor. For salgsopsjoner brukes tilsvarende med $S_{\varnothing} - S_n$ i nevneren.

Arbitrasje

Hvis opsjonsprisen i markedet avviker fra den beregnede verdien, finnes det en arbitrasjemulighet. Strategien er å kjøpe det som er underpriset og selge det som er overpriset, og låne/investere risikofritt for å balansere.

Eksempel 1 — Kjøpsopsjon med binomialmodellen (H2025, oppg. 5a)

Aksje: $A_0 = 200$, opp til 260, ned til 160. Innløsningskurs $I = 210$. $r_f = 4\%$.

$$K_{\varnothing} = \max[0,\ 260 - 210] = 50$$

$$K_n = \max[0,\ 160 - 210] = 0$$

$$q = \frac{200 \cdot 1{,}04 - 160}{260 - 160} = \frac{208 - 160}{100} = 0{,}48$$

$$K_0 = \frac{0{,}48 \cdot 50 + 0{,}52 \cdot 0}{1{,}04} = \frac{24}{1{,}04} = 23{,}08 \text{ kr}$$

Eksempel 2 — Salgsopsjon via put-call-paritet (H2025, oppg. 5b)

Med kjøpsopsjonens verdi fra eksempel 1:

$$K_0 - S_0 = A_0 - \frac{I}{1 + r_f}$$

$$23{,}08 - S_0 = 200 - \frac{210}{1{,}04}$$

$$23{,}08 - S_0 = 200 - 201{,}92 = -1{,}92$$

$$S_0 = 23{,}08 + 1{,}92 = 25{,}00 \text{ kr}$$

Salgsopsjonen er dyrere enn kjøpsopsjonen fordi innløsningskursen (210) er over aksjekursen (200) — salgsopsjonen er «in the money».

Eksempel 3 — Sikringsstrategi og arbitrasje (H2024, oppg. 5)

Aksje: $A_0 = 300$, opp til 350, ned til 270. Salgsopsjon med $I = 310$. $r_f = 4\%$.

$$S_{\varnothing} = \max[0, 310 - 350] = 0$$

$$S_n = \max[0, 310 - 270] = 40$$

$$q = \frac{300 \cdot 1{,}04 - 270}{350 - 270} = \frac{42}{80} = 0{,}525$$

$$S_0 = \frac{0{,}525 \cdot 0 + 0{,}475 \cdot 40}{1{,}04} = \frac{19}{1{,}04} = 18{,}27 \text{ kr}$$

Sikringsforhold (antall salgsopsjoner per aksje for risikofri posisjon):

$$m = \frac{A_0 \cdot (\varnothing - n)}{S_n - S_{\varnothing}} = \frac{300 \cdot (350/300 - 270/300)}{40 - 0} = \frac{300 \cdot 0{,}2667}{40} = 2{,}0$$

Du trenger 2 salgsopsjoner per aksje. Sjekk: Aksje + 2 puts. Opp: 350 + 2·0 = 350. Ned: 270 + 2·40 = 350. Begge scenarier gir 350 — risikofritt!

Risikofri avkastning: $350/(300 + 2 \cdot S_0) - 1$. Med $S_0 = 18{,}27$: $350/336{,}54 - 1 = 4{,}0\%$ = $r_f$. Stemmer!

Arbitrasje: Hvis salgsopsjonen selges for 12 kr (under 18,27): kjøp aksje + 2 puts til 300 + 24 = 324. Lån 324 til 4 %. Om ett år betaler du tilbake 336,96 og mottar 350 uansett. Arbitrasjegevinst = 350 - 336,96 = 13,04 kr.

Studieguide: Opsjoner og opsjonsprising

Studieguide: Opsjoner og opsjonsprising