Netto nåverdi (NPV)

NPV er det viktigste beslutningsverktøyet i finans. Vi diskonterer alle fremtidige kontantstrømmer til nåverdi og trekker fra investeringsutlegget:

$$NPV = -I_0 + \sum_{t=1}^{T} \frac{CF_t}{(1 + r)^t}$$

Beslutningsregel: NPV > 0 → gjennomfør prosjektet. Et positivt NPV betyr at prosjektet skaper verdi utover avkastningskravet.

Internrente (IRR)

IRR er den diskonteringsraten som gir NPV = 0. Den representerer prosjektets effektive avkastning.

Beslutningsregel: IRR > avkastningskrav → gjennomfør.

Ved gjensidig utelukkende prosjekter kan NPV og IRR gi ulik rangering -- da foretrekkes NPV, fordi den måler absolutt verdiskapning.

Sluttverdi og nåverdi

$$FV = PV \cdot (1 + r)^T$$

$$PV = \frac{FV}{(1 + r)^T}$$

Annuiteter

For like kontantstrømmer hvert år brukes annuitetsformelen:

$$PV = CF \cdot \frac{(1+r)^T - 1}{r \cdot (1+r)^T}$$

Sluttverdien av en annuitet (like årlige innbetalinger):

$$FV = CF \cdot \frac{(1+r)^T - 1}{r}$$

Effektiv rente

Når renten beregnes hyppigere enn årlig:

$$r_{eff} = \left(1 + \frac{r_{nom}}{m}\right)^m - 1$$

Effektiv rente er alltid høyere enn nominell rente (når $m > 1$).

Eksempel -- NPV og IRR

Et investeringsprosjekt med levetid 5 år, avkastningskrav 12 %. Kontantstrøm: år 0: −18, år 1: 5, år 2: 4, år 3: 7, år 4: 6, år 5: 3 (mill. kr).

$$NPV = -18 + \frac{5}{1{,}12} + \frac{4}{1{,}12^2} + \frac{7}{1{,}12^3} + \frac{6}{1{,}12^4} + \frac{3}{1{,}12^5}$$

$$= -18 + 4{,}464 + 3{,}189 + 4{,}983 + 3{,}813 + 1{,}702$$

$$= -18 + 18{,}151 = 0{,}151$$

NPV ≈ 0,15 mill. kr → marginalt lønnsomt, prosjektet bør gjennomføres

IRR finnes ved prøving: vi vet at NPV er positiv ved 12 %, så IRR > 12 %. Iterasjon gir IRR ≈ 12,3 %.

Eksempel -- Annuitet/sparing (forskuddsbetaling)

Du plasserer kr 8 000 hvert år i et fond med 9 % avkastning. Første innskudd ved inngangen til år 1, siste ved inngangen til år 6. Hva er sluttverdi etter seks år?

Innskuddene skjer ved inngangen til hvert år (annuitet forskudd).

Innskudd 1 (inngang år 1) vokser i 6 år: 8 000 × 1,09⁶ = 13 416

Innskudd 2 (inngang år 2) vokser i 5 år: 8 000 × 1,09⁵ = 12 308

Innskudd 3 (inngang år 3) vokser i 4 år: 8 000 × 1,09⁴ = 11 292

Innskudd 4 (inngang år 4) vokser i 3 år: 8 000 × 1,09³ = 10 360

Innskudd 5 (inngang år 5) vokser i 2 år: 8 000 × 1,09² = 9 505

Innskudd 6 (inngang år 6) vokser i 1 år: 8 000 × 1,09¹ = 8 720

Total sluttverdi: 65 601

Alternativt med formel: $FV = 8\,000 \cdot \frac{1{,}09^6 - 1}{0{,}09} \cdot 1{,}09 = 60\,184 \cdot 1{,}09 ≈ 65\,601$. Faktoren 1,09 korrigerer for forskuddsbetaling.

Eksempel -- Reverse: Hva må kontantstrømmen være for at NPV=0?

Et prosjekt har levetid 5 år, avkastningskrav 10 %. Kontantstrøm: år 0: −12, år 1: 3, år 2: 4, år 3: 4, år 4: 5, år 5: ?. Vi ønsker NPV = 0.

$$0 = -12 + \frac{3}{1{,}10} + \frac{4}{1{,}10^2} + \frac{4}{1{,}10^3} + \frac{5}{1{,}10^4} + \frac{CF_5}{1{,}10^5}$$

Beregn kjente nåverdier: 2,727 + 3,306 + 3,005 + 3,415 = 12,453

$$0 = -12 + 12{,}453 + \frac{CF_5}{1{,}611}$$

$$\frac{CF_5}{1{,}611} = -0{,}453$$

$$CF_5 = -0{,}453 \times 1{,}611 ≈ \textbf{-0{,}73 mill. kr}$$

Tolkning: Et lite negativt CF₅ (utbetaling) gir NPV = 0. Generell teknikk: isoler den ukjente kontantstrømmen, beregn nåverdien av alt annet, og multipliser deretter med diskonteringsfaktoren.

Eksempel -- Doblingstid

Du plasserer kr 200 000 til 7 % årlig avkastning. Hvor mange år tar det før beløpet har doblet seg?

$$2 \cdot 200\,000 = 200\,000 \cdot 1{,}07^T$$

$$1{,}07^T = 2$$

$$T = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}07} = \frac{0{,}6931}{0{,}06766} ≈ \textbf{10{,}24 år}$$

Tommelfingerregel (Rule of 72): Doblingstid ≈ 72/r% = 72/7 ≈ 10,3 år. Bruk gjerne dette som rask sjekk.

Eksempel -- Prosjektvalg mellom alternativer

Bedriften velger mellom prosjekt A og B (gjensidig utelukkende). Levetid 4 år, avkastningskrav 8 %.

A: −800, så +250 hvert år i 4 år.
B: −800, så +200, +250, +400, +200.

NPV(A) = −800 + 250 × annuitetsfaktor(8 %, 4 år)

Annuitetsfaktor: $$\frac{1{,}08^4 - 1}{0{,}08 \cdot 1{,}08^4} = \frac{0{,}3605}{0{,}10884} ≈ 3{,}3121$$

NPV(A) = −800 + 250 × 3,3121 = 28,03

NPV(B) = −800 + 200/1,08 + 250/1,08² + 400/1,08³ + 200/1,08⁴

= −800 + 185,2 + 214,3 + 317,5 + 147,0 = 64,01

Velg B (høyere NPV). Forskjellen er ca. 36 -- B er bedre fordi tunge kontantstrømmer kommer i år 3.

Eksempel -- Konseptuell: NPV=0 betyr ikke null avkastning

Spørsmål: Et prosjekt på kr 5 mill med avkastningskrav 12 % har NPV=0. Betyr dette at prosjektet ikke har gitt avkastning?

Svar: Nei. NPV=0 betyr at prosjektet gir nøyaktig avkastningskravet på 12 %, hverken mer eller mindre. Investorene får dekket sitt avkastningskrav (det de kunne fått ved alternativ plassering med samme risiko), men prosjektet skaper ingen merverdi utover dette. Et prosjekt med NPV=0 er på grensen til lønnsomhet -- IRR = avkastningskravet (12 %).

Sammenlign: NPV>0 betyr avkastning over kravet (verdiskaping). NPV<0 betyr avkastning under kravet (verditap, ikke nødvendigvis tap i absolutte tall).

Eksempel -- Sluttverdi med varierende rente og finne nødvendig rente

a) Plasser kr 30 000 i fond med rente 6 %, −2 %, 3 %, 5 %, −1 % over 5 år.

FV = 30 000 × 1,06 × 0,98 × 1,03 × 1,05 × 0,99

= 30 000 × 1,1187 = 33 562

Merk: rekkefølgen på rentene spiller ingen rolle for sluttverdien, fordi multiplikasjon er kommutativ.

b) Hva må forventet rente være for at kr 100 000 skal vokse til kr 180 000 på 8 år?

$$180\,000 = 100\,000 \cdot (1+r)^{8}$$

$$(1+r)^{8} = 1{,}8$$

$$1+r = 1{,}8^{0{,}125} ≈ 1{,}07624$$

r ≈ 7,62 %

Studieguide: Investeringsanalyse

Studieguide: Investeringsanalyse