Avkastning og risiko for enkeltaksjer

I finans måler vi risiko som standardavvik (volatilitet) til avkastningen. Forventet avkastning og varians beregnes fra scenarioer med sannsynligheter. Forventet avkastning er det sannsynlighetsvektede gjennomsnittet:

$$E(r_i) = \sum_{s=1}^{S} Pr(s) \cdot r_i(s)$$

Variansen måler spredningen rundt forventet avkastning:

$$Var(r_i) = \sum_{s=1}^{S} Pr(s) \cdot [r_i(s) - E(r_i)]^2$$

Standardavviket er kvadratroten av variansen: $\sigma_i = \sqrt{Var(r_i)}$. Standardavviket angis i prosent og er direkte sammenlignbart: en aksje med $\sigma = 30\%$ er mer risikabel enn en med $\sigma = 15\%$.

Porteføljeavkastning

Forventet avkastning til en portefølje er det vektede gjennomsnittet av de individuelle forventede avkastningene. Denne sammenhengen er lineær og intuitiv:

$$E(r_p) = \sum_{i=1}^{N} w_i \cdot E(r_i)$$

Her er $w_i$ andelen investert i aksje $i$, og vektene summerer til 1. Merk at porteføljens forventede avkastning alltid ligger mellom avkastningen til den beste og den dårligste aksjen.

Porteføljerisiko — diversifiseringens magi

Her kommer nøkkelinnsikten i porteføljeteori: porteføljens risiko er ikke det vektede gjennomsnittet av enkeltaksjenes risiko. For to aksjer $A$ og $B$ gjelder:

$$Var(r_p) = w_A^2 \cdot Var(r_A) + w_B^2 \cdot Var(r_B) + 2 \cdot w_A \cdot w_B \cdot Kov(r_A, r_B)$$

Det siste leddet — kovariansen — avgjør hvor mye diversifiseringsgevinst du får. Kovariansen kan uttrykkes via korrelasjonskoeffisienten:

$$Kov(r_A, r_B) = Korr(r_A, r_B) \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B$$

Korrelasjonen $\rho$ ligger mellom $-1$ og $+1$:

$\rho = +1$: Aksjene beveger seg perfekt i takt. Ingen diversifiseringsgevinst. Porteføljerisikoen er det vektede gjennomsnittet av enkeltaksjenes standardavvik.
$0 < \rho < 1$: Delvis positiv samvariasjon. Betydelig risikoreduksjon mulig.
$\rho = 0$: Uavhengige bevegelser. Stor diversifiseringseffekt.
$\rho = -1$: Perfekt motstående bevegelser. I teorien kan all risiko elimineres.

Eksempel 1 — Porteføljeberegning med to aksjer

Aksje A: $E(r_A) = 12\%$, $\sigma_A = 20\%$. Aksje B: $E(r_B) = 8\%$, $\sigma_B = 15\%$. Korrelasjon $\rho_{AB} = 0{,}3$. Porteføljevekter: 60 % i A, 40 % i B.

$$E(r_p) = 0{,}60 \cdot 12\% + 0{,}40 \cdot 8\% = 7{,}2\% + 3{,}2\% = 10{,}4\%$$

$$Kov(r_A, r_B) = 0{,}3 \cdot 0{,}20 \cdot 0{,}15 = 0{,}009$$

$$Var(r_p) = (0{,}60)^2 \cdot (0{,}20)^2 + (0{,}40)^2 \cdot (0{,}15)^2 + 2 \cdot 0{,}60 \cdot 0{,}40 \cdot 0{,}009$$

$$= 0{,}0144 + 0{,}0036 + 0{,}00432 = 0{,}02232$$

$$\sigma_p = \sqrt{0{,}02232} = 14{,}94\%$$

Det vektede gjennomsnittet av risiko hadde vært $0{,}60 \times 20\% + 0{,}40 \times 15\% = 18\%$. Porteføljens faktiske risiko er bare 14,94 % — en diversifiseringsgevinst på over 3 prosentpoeng. Denne «gratislunchen» oppstår fordi aksjene ikke beveger seg perfekt i takt.

Systematisk vs. usystematisk risiko

Total risiko kan deles i to komponenter:

Systematisk risiko (markedsrisiko): Risiko som påvirker hele markedet — renteendringer, konjunkturer, inflasjon, politisk usikkerhet. Kan ikke diversifiseres bort, uansett hvor mange aksjer du eier.
Usystematisk risiko (bedriftsspesifikk): Risiko knyttet til det enkelte selskapet — lederbytter, produktfeil, rettssaker. Kan og bør diversifiseres bort.

Fordi usystematisk risiko kan elimineres gratis gjennom diversifisering, kompenserer markedet kun for systematisk risiko. Dette er en avgjørende innsikt: det er ikke total risiko som bestemmer avkastningskravet, men bare den systematiske delen (målt ved beta).

Den effisiente fronten

Når man plotter alle mulige porteføljekombinasjoner i et $(\sigma, E(r))$-diagram, danner de en «kuleformet» region. Den øvre randen av denne regionen kalles den effisiente fronten (effisient sett). Porteføljene her er optimale — de gir høyest mulig forventet avkastning for hvert risikonivå.

Ingen rasjonell investor velger en portefølje under fronten: for samme risiko finnes det alltid en portefølje på fronten med høyere avkastning. Tilsvarende: for samme avkastning finnes det en portefølje med lavere risiko.

Minimum-variansporteføljen (MVP) er porteføljen med lavest mulig standardavvik blant alle mulige porteføljer. Den markerer den venstre ytterpunktet av den effisiente fronten.

Eksempel 2 — Effisient front, MVP og markedsporteføljen (teorioppgave fra H2023, oppg. 4a-d)

Denne typen teorioppgave kommer på nesten hver eksamen. Her er en komplett besvarelse:

(a) Effisient front: Settet av porteføljer som gir høyest forventet avkastning for hvert gitt risikonivå. Grafisk er det den øvre randen av mulighetsområdet i $(\sigma, E(r))$-diagrammet, fra MVP og oppover.

(b) Markedsporteføljen: Når vi trekker en rett linje fra risikofri rente $r_f$ og tangerer den effisiente fronten, er tangentpunktet markedsporteføljen $M$. Denne linjen kalles kapitalallokeringslinjen (CAL). Markedsporteføljen er den risikable porteføljen med høyest Sharpe-ratio.

(c) MVP vs. markedsporteføljen: MVP minimerer kun risiko, mens markedsporteføljen maksimerer forholdet mellom meravkastning (over $r_f$) og risiko. MVP ligger til venstre for (eller på) markedsporteføljen på den effisiente fronten.

(d) Hvorfor alle bør investere i M: CAPM sier at alle investorer bør holde en kombinasjon av risikofritt aktivum og markedsporteføljen. Forskjellen mellom investorer er kun andelen de plasserer i $M$ vs. $r_f$, basert på risikoaversjon.

Eksempel 3 — Beregne andel usystematisk risiko (fra eksamen V2022, oppg. 1h)

En aksje har korrelasjon 0,7 med markedsporteføljen, standardavvik 35 %, markedets standardavvik er 20 %. Hvor stor andel av aksjens risiko er usystematisk?

$$\beta = \frac{Korr \cdot \sigma_i \cdot \sigma_m}{\sigma_m^2} = \frac{0{,}7 \cdot 0{,}35 \cdot 0{,}20}{(0{,}20)^2} = \frac{0{,}049}{0{,}04} = 1{,}225$$

$$\text{Systematisk varians} = \beta^2 \cdot Var(r_m) = (1{,}225)^2 \cdot (0{,}20)^2 = 1{,}5006 \cdot 0{,}04 = 0{,}0600$$

$$\text{Total varians} = \sigma_i^2 = (0{,}35)^2 = 0{,}1225$$

$$\text{Andel systematisk} = \frac{0{,}0600}{0{,}1225} = 49{,}0\%$$

$$\text{Andel usystematisk} = 1 - 49{,}0\% = 51{,}0\%$$

Over halvparten av aksjens risiko er bedriftsspesifikk og kan diversifiseres bort i en veldiversifisert portefølje. Markedet kompenserer bare for de 49 % systematisk risiko.

Studieguide: Porteføljeteori

Studieguide: Porteføljeteori