1.1 Ubestemte integraler

Antiderivasjon og integrasjonsregler.

55 min

18 oppgaver

AntiderivasjonUbestemt integralIntegrasjonskonstantIntegrasjonsregler

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Hva er et integral?

Integrasjon er den omvendte operasjonen av derivasjon. Hvis vi vet den deriverte $f'(x)$ , kan vi finne tilbake til $f(x)$ ved integrasjon.

En antiderivert (eller primitiv funksjon) til $f(x)$ er en funksjon $F(x)$ slik at $F'(x) = f(x)$ .

Ubestemt integral

f(x)

📜Grunnleggende integrasjonsregler

\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)

$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$

$\int e^x \, dx = e^x + C$

$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$

$\int k \cdot f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx$

$\int [f(x) + g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$

✏️Enkle integraler

Beregn:
a) $\int x^3 \, dx$
b) $\displaystyle \int \frac{1}{x^2} \, dx$
c) $\int (3x^2 - 2x + 5) \, dx$

a) $\displaystyle \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C$

b) $\displaystyle \int \frac{1}{x^2} \, dx = \int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$

c) $\displaystyle \int (3x^2 - 2x + 5) \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C = x^3 - x^2 + 5x + C$

✏️Eksponential- og logaritmefunksjoner

Beregn $\displaystyle \int (e^x + \frac{2}{x}) \, dx$ .

\int (e^x + \frac{2}{x}) \, dx = \int e^x \, dx + 2\int \frac{1}{x} \, dx

= e^x + 2\ln|x| + C

Substitusjon (innsetting)

For å integrere sammensatte funksjoner bruker vi substitusjon:
$\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(u) \, du$

der $u = g(x)$ og $du = g'(x) \, dx$ .

✏️Substitusjon

Beregn $\int 2x \cdot e^{x^2} \, dx$ .

u = x^2

. Da er

du = 2x \, dx

$\int 2x \cdot e^{x^2} \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C$

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Beregn $\int x^5 \, dx$ .

Beregn $\int 4x^3 \, dx$ .

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Beregn $\int (2x + 3) \, dx$ .

Beregn $\int (x^2 - 4x + 1) \, dx$ .

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Beregn $\int \sqrt{x} \, dx$ .

Beregn $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$ .

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Beregn $\int 3e^x \, dx$ .

Beregn $\int 2^x \, dx$ .

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Beregn $\displaystyle \int \frac{3}{x} \, dx$ .

Beregn $\displaystyle \int (e^x - \frac{1}{x}) \, dx$ .

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Finn $f(x)$ hvis $f'(x) = 2x - 1$ og $f(0) = 3$ .

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Bruk substitusjon til å beregne $\int 6x(x^2+1)^2 \, dx$ .

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Beregn $\int e^{3x} \, dx$ .

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Beregn $\displaystyle \int \frac{2x}{x^2+1} \, dx$ .

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Beregn $\int x\sqrt{x+1} \, dx$ med substitusjon $u = x+1$ .

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Verifiser at $\int \ln x \, dx = x\ln x - x + C$ ved å derivere høyre side.

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Hastigheten til en partikkel er $v(t) = 3t^2 - 2t$ m/s. Finn posisjonen $s(t)$ hvis $s(0) = 4$ m.

Matematikk S2Tilbake

1.1 Ubestemte integraler

Antiderivasjon og integrasjonsregler.

55 min

18 oppgaver

AntiderivasjonUbestemt integralIntegrasjonskonstantIntegrasjonsregler

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Hva er et integral?

Integrasjon er den omvendte operasjonen av derivasjon. Hvis vi vet den deriverte $f'(x)$ , kan vi finne tilbake til $f(x)$ ved integrasjon.

En antiderivert (eller primitiv funksjon) til $f(x)$ er en funksjon $F(x)$ slik at $F'(x) = f(x)$ .

Ubestemt integral

f(x)

📜Grunnleggende integrasjonsregler

\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)

$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$

$\int e^x \, dx = e^x + C$

$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$

$\int k \cdot f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx$

$\int [f(x) + g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$

✏️Enkle integraler

Beregn:
a) $\int x^3 \, dx$
b) $\displaystyle \int \frac{1}{x^2} \, dx$
c) $\int (3x^2 - 2x + 5) \, dx$

a) $\displaystyle \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C$

b) $\displaystyle \int \frac{1}{x^2} \, dx = \int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$

c) $\displaystyle \int (3x^2 - 2x + 5) \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C = x^3 - x^2 + 5x + C$

✏️Eksponential- og logaritmefunksjoner

Beregn $\displaystyle \int (e^x + \frac{2}{x}) \, dx$ .

\int (e^x + \frac{2}{x}) \, dx = \int e^x \, dx + 2\int \frac{1}{x} \, dx

= e^x + 2\ln|x| + C

Substitusjon (innsetting)

For å integrere sammensatte funksjoner bruker vi substitusjon:
$\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(u) \, du$

der $u = g(x)$ og $du = g'(x) \, dx$ .

✏️Substitusjon

Beregn $\int 2x \cdot e^{x^2} \, dx$ .

u = x^2

. Da er

du = 2x \, dx

$\int 2x \cdot e^{x^2} \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C$

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Beregn $\int x^5 \, dx$ .

Beregn $\int 4x^3 \, dx$ .

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Beregn $\int (2x + 3) \, dx$ .

Beregn $\int (x^2 - 4x + 1) \, dx$ .

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Beregn $\int \sqrt{x} \, dx$ .

Beregn $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$ .

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Beregn $\int 3e^x \, dx$ .

Beregn $\int 2^x \, dx$ .

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Beregn $\displaystyle \int \frac{3}{x} \, dx$ .

Beregn $\displaystyle \int (e^x - \frac{1}{x}) \, dx$ .

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Finn $f(x)$ hvis $f'(x) = 2x - 1$ og $f(0) = 3$ .

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Bruk substitusjon til å beregne $\int 6x(x^2+1)^2 \, dx$ .

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Beregn $\int e^{3x} \, dx$ .

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Beregn $\displaystyle \int \frac{2x}{x^2+1} \, dx$ .

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Beregn $\int x\sqrt{x+1} \, dx$ med substitusjon $u = x+1$ .

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Verifiser at $\int \ln x \, dx = x\ln x - x + C$ ved å derivere høyre side.

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Hastigheten til en partikkel er $v(t) = 3t^2 - 2t$ m/s. Finn posisjonen $s(t)$ hvis $s(0) = 4$ m.

1.1 Ubestemte integraler | Matematikk S2 | Eksamenssett