5.2 Betinget sannsynlighet | Matematikk S1

Betinget sannsynlighet og uavhengighet.

55 min

16 oppgaver

Betinget sannsynlighetUavhengighetMultiplikasjonsregelenTredjagram

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Betinget sannsynlighet

Ofte onsker vi a finne sannsynligheten for at en hendelse A inntreffer, gitt at vi allerede vet at en annen hendelse B har inntruffet. Dette kalles betinget sannsynlighet.

Eksempel: Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt student bestar eksamen, gitt at studenten har gjort alle obliger?

Notasjon: $P(A|B)$ leses "sannsynligheten for A gitt B".

Betinget sannsynlighet

A

Intuisjon bak formelen

Nar vi vet at $B$ har inntruffet, begrenser vi oss til utfall i $B$ . Da blir $B$ var nye "totalmengde", og vi ser pa hvor stor del av $B$ som ogsa tilhorer $A$ .

Venndiagram-tolkning:

``┌─────────────────────────────┐ │ S │ │ ┌───────┬───────┐ │ │ │ A │A ∩ B │ B │ │ │ │ │ │ │ └───────┴───────┘ │ │ │ └─────────────────────────────┘``

$P(A|B)$ er forholdet mellom snittet $A \cap B$ og hele $B$ .

✏️Eksempel 1: Korttrekning

Fra en kortstokk trekkes ett kort. Gitt at kortet er et bildekort (knekt, dame eller konge), hva er sannsynligheten for at det er hjerter?

Losning:

La:
- $A$ = kortet er hjerter
- $B$ = kortet er et bildekort

En kortstokk har 52 kort, 12 bildekort (3 i hver farge), og 3 hjerter-bildekort.

Metode 1: Bruk formelen
$P(B) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$
$P(A \cap B) = \frac{3}{52} \quad \text{(3 hjerter-bildekort)}$
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{3/52}{12/52} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Metode 2: Direkte tenkning

Gitt at vi har et bildekort, er det 12 mulige kort.
Av disse er 3 hjerter.
$P(A|B) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 25\%$

Sannsynligheten er 25% eller 1/4.

📝Oppgave 5.2.1

I en klasse med 30 elever spiller 18 fotball og 12 handball. 6 elever spiller bade fotball og handball. En tilfeldig elev velges. Gitt at eleven spiller fotball, hva er sannsynligheten for at eleven ogsa spiller handball?

📝Oppgave 5.2.2

To terninger kastes. Gitt at summen er minst 10, hva er sannsynligheten for at minst en terning viser 6?

Produktregelen

Fra definisjonen av betinget sannsynlighet kan vi utlede produktregelen:

📜Produktregelen

For to hendelser

A

B

$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A)$

For tre hendelser:
$P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C|A \cap B)$

✏️Eksempel 2: Trekning uten tilbakelegging

En veske inneholder 5 rode og 3 bla kuler. Det trekkes to kuler uten tilbakelegging. Hva er sannsynligheten for at begge kulene er rode?

Losning med trediagram:

``Forste trekning │ ┌────────────┴────────────┐ │ │ Rod (5/8) Bla (3/8) │ │ ┌────────┴────────┐ ┌────────┴────────┐ │ │ │ │ Rod (4/7) Bla (3/7) Rod (5/7) Bla (2/7) │ │ │ │ RR RB BR BB``

La:
- $A$ = forste kule er rod
- $B$ = andre kule er rod

$P(A) = \frac{5}{8}$
$P(B|A) = \frac{4}{7} \quad \text{(4 rode igjen av 7 kuler)}$

Produktregelen:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14} \approx 35{,}7\%$

📝Oppgave 5.2.3

En kortstokk har 52 kort. Det trekkes to kort uten tilbakelegging. Hva er sannsynligheten for at begge kortene er ess?

📝Oppgave 5.2.4

En skuff inneholder 10 sorte og 6 hvite sokker. Du trekker 2 sokker tilfeldig i morket (uten tilbakelegging). Hva er sannsynligheten for at du far et matchende par?

Uavhengige hendelser

To hendelser er uavhengige hvis det at den ene inntreffer ikke pavirker sannsynligheten for den andre.

Uavhengige hendelser

A

Viktig om uavhengighet

Uavhengighet er ikke det samme som disjunkte hendelser!

- Disjunkte hendelser ( $A \cap B = \emptyset$ ): Kan ikke inntreffe samtidig
- Uavhengige hendelser: En hendelse pavirker ikke sannsynligheten for den andre

Disjunkte hendelser med positiv sannsynlighet er faktisk avhengige: Hvis $A$ inntreffer, vet vi at $B$ ikke kan inntreffe.

✏️Eksempel 3: Uavhengige hendelser

En mynt kastes og en terning kastes. Hva er sannsynligheten for a fa kron og 6?

Losning:

La:
- $A$ = mynt viser kron
- $B$ = terning viser 6

Disse hendelsene er uavhengige (myntkastet pavirker ikke terningkastet).

$P(A) = \frac{1}{2}, \quad P(B) = \frac{1}{6}$

For uavhengige hendelser:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \approx 8{,}3\%$

✏️Eksempel 4: Teste for uavhengighet

I en undersokelse av 100 studenter fikk man folgende data:

Bestar	Stryker	Sum
Gjor obliger	54	6	60
Gjor ikke obliger	24	16	40
Sum	78	22	100

Er hendelsene "gjor obliger" og "bestar" uavhengige?

Losning:

La:
- $A$ = studenten bestar
- $B$ = studenten gjor obliger

Vi sjekker om $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ :

$P(A) = \frac{78}{100} = 0{,}78$
$P(B) = \frac{60}{100} = 0{,}60$
$P(A) \cdot P(B) = 0{,}78 \cdot 0{,}60 = 0{,}468$

$P(A \cap B) = \frac{54}{100} = 0{,}54$

Siden $0{,}54 \neq 0{,}468$ , er hendelsene ikke uavhengige.

Vi kan ogsa se at:
$P(A|B) = \frac{54}{60} = 0{,}90 \neq P(A) = 0{,}78$

Studenter som gjor obliger har hoyere sannsynlighet for a besta.

📝Oppgave 5.2.5

En terning kastes tre ganger. Hva er sannsynligheten for a fa 6 alle tre gangene?

📝Oppgave 5.2.6

En maskin produserer deler der 5% er defekte. Tre deler velges tilfeldig og uavhengig. Hva er sannsynligheten for at:

Alle tre er defekte

Ingen er defekte

Minst en er defekt

📝Oppgave 5.2.7

En test for en sykdom har folgende egenskaper: 95% av de syke tester positivt (sensitivitet) og 90% av de friske tester negativt (spesifisitet). I befolkningen er 1% smittet. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig person tester positivt?

Totalsetningen (setningen om total sannsynlighet)

Totalsetningen lar oss beregne sannsynligheten for en hendelse ved a dele opp i gjensidig utelukkende tilfeller.

📜Totalsetningen

B_1, B_2, \ldots, B_n

vaere gjensidig utelukkende hendelser som dekker hele utfallsrommet (en partisjon). Da er:

$P(A) = P(A|B_1) \cdot P(B_1) + P(A|B_2) \cdot P(B_2) + \ldots + P(A|B_n) \cdot P(B_n)$

Ofte brukt med to tilfeller ( $B$ og $\overline{B}$ ):
$P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B})$

✏️Eksempel 5: Totalsetningen med trediagram

En fabrikk har to maskiner, M1 og M2. M1 produserer 60% av alle deler og M2 produserer 40%. Av delene fra M1 er 2% defekte, mens 5% av delene fra M2 er defekte. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt del er defekt?

Trediagram:

``Start │ ┌──────────────┴──────────────┐ │ │ M1 (0,60) M2 (0,40) │ │ ┌────┴────┐ ┌────┴────┐ │ │ │ │ Defekt OK Defekt OK (0,02) (0,98) (0,05) (0,95)``

La:
- $D$ = defekt del
- $M_1$ = del fra maskin 1
- $M_2$ = del fra maskin 2

Totalsetningen:
$P(D) = P(D|M_1) \cdot P(M_1) + P(D|M_2) \cdot P(M_2)$
$P(D) = 0{,}02 \cdot 0{,}60 + 0{,}05 \cdot 0{,}40$
$P(D) = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032 = 3{,}2\%$

Sannsynligheten for en defekt del er 3,2%.

📝Oppgave 5.2.8

En veske inneholder 3 rode og 2 bla kuler. En kule trekkes tilfeldig. Hvis kulen er rod, legges den tilbake og 2 rode kuler legges til. Hvis kulen er bla, legges ingen kuler tilbake. Deretter trekkes en ny kule. Hva er sannsynligheten for at den andre kulen er rod?

📝Oppgave 5.2.9

I en by er 70% av innbyggerne kvinner og 30% menn. 40% av kvinnene og 30% av mennene bruker kollektivtransport.

Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig innbygger bruker kollektivtransport?

Gitt at en person bruker kollektivtransport, hva er sannsynligheten for at personen er kvinne?

📝Oppgave 5.2.10

Et firma har tre avdelinger: A, B og C. Avdeling A har 50 ansatte, B har 30 og C har 20. I avdeling A er 40% kvinner, i B er 60% kvinner, og i C er 50% kvinner. En ansatt velges tilfeldig. Gitt at personen er kvinne, hva er sannsynligheten for at hun jobber i avdeling B?

📝Oppgave 5.2.11

En mynt er enten rettferdig (50% kron) eller skjev (70% kron). Det er 60% sannsynlig at mynten er rettferdig. Mynten kastes og viser kron. Hva er den oppdaterte sannsynligheten for at mynten er rettferdig?

📝Oppgave 5.2.12

I et spill kastes en terning forst. Hvis terningen viser 1 eller 2, trekkes et kort fra en bunke med 3 rode og 2 svarte kort. Ellers trekkes fra en bunke med 2 rode og 4 svarte kort. Hva er sannsynligheten for a trekke et rodt kort? Gitt at kortet er rodt, hva er sannsynligheten for at terningen viste 1 eller 2?

Oppsummering

Betinget sannsynlighet:
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Produktregelen:
$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$

Uavhengige hendelser:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Totalsetningen:
$P(A) = \sum_i P(A|B_i) \cdot P(B_i)$

Bestar

Stryker

Sum

Gjor obliger

Gjor ikke obliger

Sum

100