4.3 Etterspørsel og elastisitet | Matematikk S1

Etterspørselsfunksjoner og priselastisitet.

50 min

12 oppgaver

EtterspørselElastisitetPriselastisitetMarkedslikevekt

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Etterspørsel og elastisitet

Så langt har vi antatt at bedriften kan selge så mange enheter den vil til en fast pris. I praksis vil ofte prisen påvirke hvor mange enheter som etterspørres. Når prisen går opp, synker vanligvis etterspørselen.

I dette kapittelet skal vi se på etterspørselsfunksjoner og et viktig begrep kalt priselastisitet.

Etterspørselsfunksjonen

Etterspørselsfunksjonen beskriver sammenhengen mellom prisen på en vare og hvor mange enheter som etterspørres i markedet.

Etterspørselsfunksjon

x(p)

✏️Eksempel 1: Etterspørselsfunksjon

En bedrift har funnet at etterspørselen etter produktet deres kan beskrives med funksjonen:

$x(p) = 1000 - 5p$

der $p$ er prisen i kroner og $x$ er antall enheter.

a) Hvor mange enheter etterspørres når prisen er 100 kr?
b) Hvilken pris gir etterspørsel på 500 enheter?
c) Hva er maksimal pris bedriften kan ta?

Løsning:

a) Vi setter inn $p = 100$ :
$x(100) = 1000 - 5 \cdot 100 = 1000 - 500 = 500 \text{ enheter}$

b) Vi løser $x(p) = 500$ :
$1000 - 5p = 500$
$-5p = -500$
$p = 100 \text{ kr}$

c) Maksimal pris er når etterspørselen er 0:
$x(p) = 0$
$1000 - 5p = 0$
$p = 200 \text{ kr}$

Ved pris over 200 kr vil ingen kjøpe produktet.

📝Oppgave 1

En bedrift har etterspørselsfunksjonen $x(p) = 800 - 4p$ .

Hvor mange enheter etterspørres når prisen er 50 kr?

Hvilken pris gir etterspørsel på 400 enheter?

Hva er maksimal pris før etterspørselen blir null?

Hvor mange enheter etterspørres når varen er gratis?

Løs oppgaven Tren

Inntekt med etterspørselsfunksjon

Når prisen påvirker etterspørselen, blir inntektsfunksjonen mer komplisert. Inntekten blir pris ganger mengde, der mengden avhenger av prisen.

Inntektsfunksjon med etterspørsel

x(p) = a - bp

✏️Eksempel 2: Inntekt med etterspørselsfunksjon

Etterspørselsfunksjonen er $x(p) = 1000 - 5p$ .

a) Finn inntektsfunksjonen $I(p)$ .
b) Ved hvilken pris er inntekten maksimal?
c) Hva er maksimal inntekt?

Løsning:

a) Inntektsfunksjonen:
$I(p) = p \cdot x(p) = p(1000 - 5p) = 1000p - 5p^2$

b) For maksimum setter vi $I'(p) = 0$ :
$I'(p) = 1000 - 10p = 0$
$p = 100 \text{ kr}$

c) Maksimal inntekt:
$I(100) = 1000 \cdot 100 - 5 \cdot 100^2 = 100000 - 50000 = 50000 \text{ kr}$

Ved pris 100 kr selges $x(100) = 500$ enheter, og inntekten blir 50 000 kr.

📝Oppgave 2

En bedrift har etterspørselsfunksjonen $x(p) = 600 - 3p$ .

Finn inntektsfunksjonen $I(p)$ .

Finn $I'(p)$ .

Ved hvilken pris er inntekten maksimal?

Finn maksimal inntekt.

Løs oppgaven Tren

Priselastisitet

Priselastisiteten forteller oss hvor følsom etterspørselen er for prisendringer. Den måler den prosentvise endringen i etterspørsel i forhold til den prosentvise endringen i pris.

Priselastisitet

e

Tolkning av priselastisitet:

Verdi	Betegnelse	Betydning
$\|e\| > 1$	Elastisk	Etterspørselen er følsom for prisendringer
$\|e\| = 1$	Enhetselastisk	Proporsjonal endring
$\|e\| < 1$	Uelastisk	Etterspørselen er lite følsom for pris

Merk:

e

er vanligvis negativ (etterspørselen synker når prisen øker), men vi bruker ofte

|e|

✏️Eksempel 3: Beregning av priselastisitet

Etterspørselsfunksjonen er $x(p) = 1000 - 5p$ .

a) Finn et generelt uttrykk for priselastisiteten $e$ .
b) Beregn priselastisiteten når $p = 50$ kr.
c) Beregn priselastisiteten når $p = 100$ kr.
d) Ved hvilken pris er etterspørselen enhetselastisk?

Løsning:

a) Vi har $x(p) = 1000 - 5p$ og $x'(p) = -5$ .

Priselastisiteten:
$e = \frac{p}{x(p)} \cdot x'(p) = \frac{p}{1000 - 5p} \cdot (-5) = \frac{-5p}{1000 - 5p}$

b) For $p = 50$ :
$e = \frac{-5 \cdot 50}{1000 - 5 \cdot 50} = \frac{-250}{750} = -\frac{1}{3} \approx -0{,}33$

$|e| < 1$ : Etterspørselen er uelastisk. En prisøkning på 1% gir ca. 0,33% nedgang i etterspørsel.

c) For $p = 100$ :
$e = \frac{-5 \cdot 100}{1000 - 5 \cdot 100} = \frac{-500}{500} = -1$

$|e| = 1$ : Etterspørselen er enhetselastisk.

d) Enhetselastisk når $e = -1$ :
$\frac{-5p}{1000 - 5p} = -1$
$5p = 1000 - 5p$
$10p = 1000$
$p = 100 \text{ kr}$

📝Oppgave 3

En bedrift har etterspørselsfunksjonen $x(p) = 800 - 4p$ .

Finn $x'(p)$ .

Finn et uttrykk for priselastisiteten $e$ .

Beregn priselastisiteten når $p = 50$ kr.

Ved hvilken pris er etterspørselen enhetselastisk?

Løs oppgaven Tren

📜Sammenheng mellom elastisitet og inntekt

Priselastisiteten ved inntektsmaksimum er alltid $e = -1$ (enhetselastisk).

- Når $|e| > 1$ (elastisk): Prisreduksjon øker inntekten
- Når $|e| < 1$ (uelastisk): Prisøkning øker inntekten
- Når $|e| = 1$ (enhetselastisk): Inntekten er maksimal

📝Oppgave 4

Etterspørselsfunksjonen er $x(p) = 500 - 2p$ .

Finn inntektsfunksjonen $I(p)$ .

Ved hvilken pris er inntekten maksimal?

Beregn priselastisiteten ved denne prisen.

Bekreft at $|e| = 1$ ved inntektsmaksimum.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

En bedrift selger et produkt der prisen kan uttrykkes som funksjon av mengden: $p(x) = 200 - 0{,}5x$ .

Finn etterspørselen når prisen er 100 kr.

Finn inntektsfunksjonen $I(x) = p(x) \cdot x$ .

Ved hvilken mengde er inntekten maksimal?

Hva er prisen ved maksimal inntekt?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

En dagligvarebutikk har funnet at etterspørselen etter melk kan beskrives med $x(p) = 2000 - 100p$ der $p$ er prisen i kroner per liter.

Beregn priselastisiteten når prisen er 10 kr.

Er etterspørselen elastisk eller uelastisk ved denne prisen?

Hvis prisen økes til 15 kr, hva blir elastisiteten?

Hva vil skje med inntekten hvis prisen økes fra 10 kr til 15 kr?

📝Oppgave 7

En bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}02x^2 + 20x + 5000$ og etterspørselsfunksjonen $p(x) = 120 - 0{,}1x$ der $p$ er prisen og $x$ er mengden.

Finn inntektsfunksjonen $I(x)$ .

Finn overskuddsfunksjonen $O(x)$ .

Finn mengden som gir maksimalt overskudd.

Hvilken pris bør bedriften sette?

📝Oppgave 8

Priselastisiteten for et produkt er målt til $e = -2$ når prisen er 80 kr.

Hva betyr dette for etterspørselen?

Hvis prisen økes med 5%, omtrent hvor mye endres etterspørselen?

Bør bedriften øke eller senke prisen for å øke inntekten?

📝Oppgave 9

En bedrift har etterspørselsfunksjonen $\displaystyle x(p) = \frac{10000}{p}$ (konstantelastisk etterspørsel).

Finn $x'(p)$ .

Finn et uttrykk for priselastisiteten.

Hva er spesielt med denne etterspørselsfunksjonen?

Bekreft at inntekten er konstant.

📝Oppgave 10

En bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 10x + 1000$ og prisfunksjonen $p(x) = 50 - 0{,}2x$ .

Finn inntektsfunksjonen og overskuddsfunksjonen.

Finn grenseinntekten $I'(x)$ og grensekostnaden $K'(x)$ .

Finn optimal produksjonsmengde ved å sette $I'(x) = K'(x)$ .

Finn optimal pris og maksimalt overskudd.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

To produkter har følgende etterspørselsfunksjoner:
- Produkt A: $x_A(p) = 1000 - 10p$
- Produkt B: $x_B(p) = 500 - 2p$

Beregn priselastisiteten for begge produkter når prisen er 20 kr.

Hvilket produkt har mest elastisk etterspørsel ved denne prisen?

For hvilket produkt vil en prisøkning ha størst effekt på etterspørselen?

📝Oppgave 12

En monopolist har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}5x^2 + 10x + 500$ og etterspørselsfunksjonen $x(p) = 200 - 2p$ .

Uttrykk prisen som funksjon av mengden.

Finn inntektsfunksjonen $I(x)$ .

Finn overskuddsfunksjonen og optimal produksjonsmengde.

Finn monopolprisen og maksimalt overskudd.

Etterspørsel og elastisitet

I dette kapittelet skal vi se på etterspørselsfunksjoner og et viktig begrep kalt priselastisitet.

Verdi

Betegnelse

Betydning

|e| > 1

Elastisk

Etterspørselen er følsom for prisendringer

|e| = 1

Enhetselastisk

Proporsjonal endring

|e| < 1

Uelastisk

Etterspørselen er lite følsom for pris