Modellere logistisk vekst med bærekapasitet.
I forrige kapittel så vi at eksponentiell vekst fører til svært raske økninger over tid. Men i virkeligheten kan ingenting vokse eksponentielt for alltid!
Hva begrenser vekst?
- Mat og næring (for populasjoner)
- Plass og ressurser
- Konkurranse
- Metning av marked (for produkter)
Når veksten møter slike begrensninger, får vi ofte logistisk vekst i stedet.
Den logistiske vekstkurven har en karakteristisk S-form:
1. Tidlig fase: Veksten ligner eksponentiell (få begrensninger)
2. Midtfase: Veksten avtar når ressursene blir knappe
3. Sen fase: Veksten flater ut mot en øvre grense
Denne øvre grensen kalles bærekapasiteten.
Den logistiske modellen tar hensyn til at vekstraten avtar når populasjonen nærmer seg bærekapasiteten.
der:
- er bærekapasiteten (øvre grense)
- er vekstraten (initiell)
- er en konstant bestemt av startverdien
- er tiden
Egenskaper:
- (startverdi)
- (går mot bærekapasiteten)
- (bærekapasitet): Den maksimale bærekraftige størrelsen. Populasjonen kan aldri overstige i lengden.
- (vekstrate): Hvor raskt veksten skjer. Høyere betyr brattere S-kurve.
- : Bestemmes av hvor langt fra vi starter. Hvis er liten sammenlignet med , er stor.
En fiskedam kan maksimalt romme 10 000 fisk. Vi setter ut 500 fisk, og vekstraten er per år.
a) Finn konstanten .
b) Sett opp den logistiske modellen.
c) Hvor mange fisk er det etter 5 år? Etter 10 år? Etter 20 år?
a) Vi har , og .
b) Den logistiske modellen blir:
c) Vi regner ut:
: fisk
: fisk
: fisk
Populasjonen nærmer seg bærekapasiteten 10 000.
Sett opp logistisk modell for hver situasjon.
Bruk den logistiske modellen til å beregne.
For , finn , og .
For modellen i a), når er ?
For , hva er bærekapasiteten og startverdien?
En viktig egenskap ved logistisk vekst er at veksthastigheten først øker, så avtar. Punktet der veksthastigheten er størst kalles vendepunktet.
Tidspunktet for vendepunktet er:
Maksimal veksthastighet i vendepunktet:
For fiskedammen fra eksempel 1 med :
a) Finn tidspunktet for vendepunktet.
b) Hva er populasjonen i vendepunktet?
c) Hva er den maksimale veksthastigheten?
a) Med og :
b) I vendepunktet er populasjonen alltid halvparten av bærekapasiteten:
c) Maksimal veksthastighet:
Tolkning: Rundt år 6 vokser populasjonen raskest, med ca. 1250 nye fisk per år.
Finn vendepunktet for hver logistiske modell.
En populasjon følger logistisk vekst med og vendepunkt ved år. . Finn .
For å analysere veksthastigheten trenger vi den deriverte av den logistiske funksjonen.
Denne kan også skrives som:
Tolkning: Veksthastigheten avhenger av:
- Nåværende populasjon
- Hvor mye "ledig kapasitet" det er:
Den logistiske modellen kommer fra differensiallikningen:
Denne sier at veksthastigheten er:
- Proporsjonal med (som eksponentiell vekst)
- Multiplisert med en "bremsefaktor" som blir mindre når nærmer seg
For modellen :
a) Finn .
b) Beregn veksthastigheten når , og .
c) Når er veksthastigheten størst?
a) Med , , :
Alternativt:
b) Bruker alternativ form:
:
: (maksimal)
:
c) Veksthastigheten er størst når , som bekrefter at vendepunktet er ved .
Beregn veksthastigheten.
For , bruk til å finne når .
For samme modell, finn når og .
En populasjon følger . Finn maksimal veksthastighet.
Logistisk vekst beskriver mange fenomener i virkeligheten bedre enn eksponentiell vekst.
I en by med 100 000 innbyggere spres en sykdom. Spredningen følger logistisk vekst med per dag. Dag 0 er 100 personer smittet.
a) Sett opp modellen for antall smittede .
b) Hvor mange er smittet etter 20 dager? Etter 40 dager?
c) Når er spredningen raskest, og hvor mange smittes da per dag?
d) Når er halvparten av befolkningen smittet?
a) , ,
b) smittede
smittede
c) Vendepunktet: dager
Maksimal smittehastighet: per dag
d) Halvparten () smittes ved vendepunktet, altså etter ca. 23 dager.
Et land med 5 millioner husstander innfører en ny strømmetjeneste. Etter 2 år har 500 000 abonnert. Modellen er logistisk med bærekapasitet 4 millioner.
a) Finn og .
b) Når vil 2 millioner ha abonnert?
a) Vi har , (antatt startverdi), .
La oss anta (tidlig adopsjon):
Fra :
b) Vi løser :
Løs de praktiske oppgavene.
En innsjø kan ha maks 2000 fisk. 200 fisk settes ut, og . Når er det 1500 fisk?
Et rykte spres på en skole med 800 elever. Etter 1 dag vet 50 om det. Etter 3 dager vet 400. Finn .
En plante sprer seg i et område på 1000 m². Starter med 10 m², per år. Når dekker den 900 m²?
Sammenlign eksponentiell og logistisk vekst. Juster parameterne for å se forskjellene.
Logistisk vekstmodell:
der
Bærekapasitet : Øvre grense som nærmer seg
Vendepunkt:
- Tidspunkt:
- Populasjon:
- Maksimal veksthastighet:
Derivasjon:
Forskjell fra eksponentiell:
- Eksponentiell: Ubegrenset vekst
- Logistisk: Begrenset av bærekapasitet, S-formet kurve