1.2 Bevegelse i to dimensjoner

Bevegelse i to dimensjoner

I forrige kapittel lærte vi om vektorer og hvordan de brukes til å beskrive størrelser med retning. Nå skal vi bruke denne kunnskapen til å analysere bevegelse i planet - altså bevegelse som skjer i to dimensjoner samtidig.

Fra én til to dimensjoner

I Fysikk 1 studerte vi bevegelse langs en rett linje (én dimensjon). Vi brukte formler som:

$$x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$$

Nå utvider vi dette til bevegelse i planet (to dimensjoner). Et objekt kan nå bevege seg både horisontalt og vertikalt samtidig.

Eksempler på 2D-bevegelse

- Skråkast: En ball kastes skrått oppover
- Sirkelbevegelse: En bil kjører rundt en rundkjøring
- Prosjektilbevegelse: En kanonkule i luften
- Fly i vind: Et fly som påvirkes av sidevind

For å beskrive slik bevegelse trenger vi vektorer - posisjonsvektor, hastighetsvektor og akselerasjonsvektor.

Posisjonsvektoren

Posisjonsvektoren $\vec{r}$ beskriver hvor et objekt befinner seg i forhold til origo.

Definisjon

I to dimensjoner er posisjonsvektoren:

$$\vec{r}(t) = x(t)\hat{i} + y(t)\hat{j}$$

Her er:
- $x(t)$ = objektets x-koordinat som funksjon av tid
- $y(t)$ = objektets y-koordinat som funksjon av tid
- $\hat{i}$ = enhetsvektoren i x-retning
- $\hat{j}$ = enhetsvektoren i y-retning

Grafisk tolkning

Posisjonsvektoren er en pil som peker fra origo til objektets posisjon. Når objektet beveger seg, endrer posisjonsvektoren seg over tid - den "følger med" objektet.

Banen (trajektoriet)

Settet av alle posisjoner objektet passerer gjennom kalles banen eller trajektoriet. Hvis vi tegner alle posisjonene $(x(t), y(t))$ for alle tider $t$, får vi banekurven.

Eksempel:
Hvis $x(t) = 2t$ og $y(t) = 3t$, beveger objektet seg langs en rett linje.
Hvis $x(t) = \cos(t)$ og $y(t) = \sin(t)$, beveger objektet seg i en sirkel.

Hastighetsvektoren

Hastighetsvektoren $\vec{v}$ beskriver hvor raskt og i hvilken retning et objekt beveger seg.

Definisjon via derivasjon

Hastighetsvektoren er den tidsderiverte av posisjonsvektoren:

$$\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j}$$

Vi kan skrive dette enklere som:

$$\vec{v}(t) = v_x(t)\hat{i} + v_y(t)\hat{j}$$

der $\displaystyle v_x = \frac{dx}{dt}$ og $\displaystyle v_y = \frac{dy}{dt}$.

Grafisk tolkning

Hastighetsvektoren peker alltid tangent til banen - altså i den retningen objektet beveger seg i øyeblikket.

- Lengden $|\vec{v}|$ er farten (hvor raskt objektet beveger seg)
- Retningen viser hvilken vei objektet beveger seg

Sammenheng med 1D-kinematikk

I én dimensjon hadde vi $\displaystyle v = \frac{dx}{dt}$. Dette er bare x-komponenten av hastighetsvektoren!

I to dimensjoner har vi i tillegg $\displaystyle v_y = \frac{dy}{dt}$, og disse to komponentene danner hastighetsvektoren.

Akselerasjonsvektoren

Akselerasjonsvektoren $\vec{a}$ beskriver hvordan hastigheten endrer seg over tid.

Definisjon via derivasjon

Akselerasjonsvektoren er den tidsderiverte av hastighetsvektoren:

$$\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{dv_x}{dt}\hat{i} + \frac{dv_y}{dt}\hat{j}$$

Siden $\displaystyle \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$, er akselerasjonen også den andrederiverte av posisjon:

$$\vec{a}(t) = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$$

Hva akselerasjon betyr i 2D

I to dimensjoner kan akselerasjonen føre til:

1. Endring i fart (objektet går raskere eller saktere)
2. Endring i retning (objektet svinger)
3. Begge deler samtidig

Dette er viktig: Selv om et objekt har konstant fart, kan det ha akselerasjon hvis retningen endrer seg!

Komponenter

$$\vec{a}(t) = a_x(t)\hat{i} + a_y(t)\hat{j}$$

der $\displaystyle a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$ og $\displaystyle a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{d^2y}{dt^2}$.

Uavhengighetsprinsippet

Et av de viktigste prinsippene i 2D-kinematikk er uavhengighetsprinsippet:

Prinsippet

> Bevegelse i x-retning og y-retning er uavhengige av hverandre og kan analyseres separat.

Dette betyr at:
- Hastigheten i x-retning påvirker ikke hastigheten i y-retning
- Akselerasjonen i x-retning påvirker ikke bevegelsen i y-retning (og omvendt)
- Vi kan løse to separate 1D-problemer og kombinere resultatene

Hvorfor fungerer dette?

Newtons andre lov gjelder for hver komponent separat:

$$F_x = ma_x \qquad F_y = ma_y$$

Hvis det ikke er noen kraft i x-retning ($F_x = 0$), er $a_x = 0$, og hastigheten i x-retning forblir konstant - uavhengig av hva som skjer i y-retning.

Eksempel: Skråkast

Når en ball kastes skrått oppover (og vi ser bort fra luftmotstand):
- I x-retning: Ingen kraft → konstant hastighet $v_x$
- I y-retning: Tyngdekraft → konstant akselerasjon $a_y = -g$

Disse to bevegelsene skjer samtidig og uavhengig. Resultatet er en parabelformet bane.

Konstant akselerasjon i 2D

Når akselerasjonen er konstant, kan vi bruke de kjente kinematiske likningene - men nå for hver komponent separat.

Kinematiske likninger i 2D

For x-retning (med konstant $a_x$):

$$v_x(t) = v_{0x} + a_x t$$
$$x(t) = x_0 + v_{0x} t + \frac{1}{2}a_x t^2$$
$$v_x^2 = v_{0x}^2 + 2a_x(x - x_0)$$

For y-retning (med konstant $a_y$):

$$v_y(t) = v_{0y} + a_y t$$
$$y(t) = y_0 + v_{0y} t + \frac{1}{2}a_y t^2$$
$$v_y^2 = v_{0y}^2 + 2a_y(y - y_0)$$

Vektorform

Vi kan også skrive dette på vektorform:

$$\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \vec{a}t$$

$$\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0 t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$$

Spesialtilfelle: Prosjektilbevegelse

For prosjektilbevegelse nær jordoverflaten (uten luftmotstand):
- $a_x = 0$ (ingen horisontal akselerasjon)
- $a_y = -g \approx -9.81$ m/s² (tyngdeakselerasjon nedover)

Fra akselerasjon til posisjon: Integrasjon

Vi har sett at derivasjon tar oss fra posisjon til hastighet til akselerasjon:

$$\vec{r}(t) \xrightarrow{\frac{d}{dt}} \vec{v}(t) \xrightarrow{\frac{d}{dt}} \vec{a}(t)$$

For å gå motsatt vei - fra akselerasjon til hastighet til posisjon - bruker vi integrasjon:

$$\vec{a}(t) \xrightarrow{\int dt} \vec{v}(t) \xrightarrow{\int dt} \vec{r}(t)$$

Fra akselerasjon til hastighet

$$\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \int_0^t \vec{a}(t')\, dt'$$

For konstant akselerasjon:
$$\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \vec{a}t$$

Fra hastighet til posisjon

$$\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \int_0^t \vec{v}(t')\, dt'$$

For konstant hastighet:
$$\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}t$$

For konstant akselerasjon (sett inn $\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \vec{a}t$):
$$\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0 t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$$

Initialbetingelser

Integrasjon innfører integrasjonskonstanter som må bestemmes fra initialbetingelser (startposisjon $\vec{r}_0$ og starthastighet $\vec{v}_0$).

Sammenfatning: Kinematikk i 2D

Hovedpoenger

1. Vektorbeskrivelse
- Posisjon: $\vec{r}(t) = x(t)\hat{i} + y(t)\hat{j}$
- Hastighet: $\vec{v}(t) = v_x(t)\hat{i} + v_y(t)\hat{j}$
- Akselerasjon: $\vec{a}(t) = a_x(t)\hat{i} + a_y(t)\hat{j}$

2. Derivasjonssammenhenger
$$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} \qquad \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$$

3. Integrasjonssammenhenger
$$\vec{v} = \vec{v}_0 + \int \vec{a}\, dt \qquad \vec{r} = \vec{r}_0 + \int \vec{v}\, dt$$

4. Uavhengighetsprinsippet
Bevegelse i x og y kan analyseres separat som to 1D-problemer.

5. Konstant akselerasjon
$$\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \vec{a}t$$
$$\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0 t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$$

Fremgangsmåte for oppgaver

1. Sett opp koordinatsystem (x horisontal, y vertikal)
2. Finn startbetingelser ($\vec{r}_0$, $\vec{v}_0$)
3. Identifiser akselerasjonen i hver retning
4. Bruk kinematiske likninger separat for x og y
5. Kombiner resultatene vektorielt