4.5 Rasjonale ulikheter

Løs ulikheter med brøker som inneholder variabler i nevneren.

50 min

14 oppgaver

Rasjonale ulikheterBrøkutrykkDefinisjonsmengdeFortegnsskjema

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Rasjonale ulikheter

Når vi har $x$ under brøkstreken, kan vi ikke behandle ulikheten som en vanlig likning.

> Viktig: Det er ikke lov å gange på begge sider av en ulikhet med ukjente uttrykk (som $x$ eller $x + 3$ ). Dette er fordi vi ikke vet om uttrykket er positivt eller negativt.

Fremgangsmåte

1. Flytt alt til én side slik at du får

\displaystyle \frac{\text{noe}}{\text{noe}} \gtrless 0

2. Faktoriser teller og nevner
3. Sett opp fortegnsskjema med én linje for hver faktor
4. Husk: Der nevneren er null, er uttrykket udefinert (markeres med

\not\exists

eller hull)

Fortegnslinje for $\displaystyle \frac{1}{x}$

Uttrykket $\displaystyle \frac{1}{x}$ er:
- Negativt for $x < 0$
- Udefinert ved $x = 0$
- Positivt for $x > 0$

✏️Eksempel 6

Lag fortegnslinjen til:

a) $\dfrac{4}{x}$

b) $\dfrac{-3}{x - 2}$

c) $\dfrac{-2x + 4}{x + 1}$

Løsning:

a) $\dfrac{4}{x} = 4 \cdot \dfrac{1}{x}$

x-linje

0

4

\displaystyle \frac{1}{x}

\displaystyle \frac{4}{x}

---

b) $\dfrac{-3}{x - 2} = -3 \cdot \dfrac{1}{x - 2}$

x-linje

2

-3

\displaystyle \frac{1}{x-2}

\displaystyle \frac{-3}{x-2}

---

c) $\dfrac{-2x + 4}{x + 1} = \dfrac{-2(x - 2)}{x + 1} = -2 \cdot (x - 2) \cdot \dfrac{1}{x + 1}$

x-linje

-1

2

-2

(x-2)

\displaystyle \frac{1}{x+1}

\text{Produkt}

📝Oppgave 8

Lag fortegnsskjema til uttrykkene

\dfrac{7}{x}

\dfrac{2}{x + 1}

\dfrac{-5}{x - 2}

\dfrac{x - 2}{x + 4}

\dfrac{-2(x + 1)}{(x - 6)(x - 1)}

\dfrac{-3x + 12}{x^2 - 4x + 3}

✏️Eksempel 7

Løs ulikhetene:

a) $\dfrac{x - 3}{x} \geq 0$

b) $\dfrac{-3}{(x + 2)(x - 1)} \geq 0$

Løsning:

a) $\dfrac{x - 3}{x} \geq 0$

Vi skriver om: $(x - 3) \cdot \dfrac{1}{x} \geq 0$

x-linje

0

3

(x-3)

\displaystyle \frac{1}{x}

\displaystyle \frac{x-3}{x}

Vi ser at $\displaystyle \frac{x-3}{x} \geq 0$ når $x < 0$ eller $x \geq 3$ .

Merk: Ved $x = 0$ er uttrykket udefinert, så vi inkluderer ikke dette punktet.

Løsning: $x \in \langle -\infty, 0 \rangle \cup [3, \infty \rangle$

---

b) $\dfrac{-3}{(x + 2)(x - 1)} \geq 0$

Vi skriver om: $-3 \cdot \dfrac{1}{x + 2} \cdot \dfrac{1}{x - 1} \geq 0$

x-linje

-2

1

-3

\displaystyle \frac{1}{x+2}

\displaystyle \frac{1}{x-1}

\text{Produkt}

Vi ser at uttrykket er $\geq 0$ når $-2 < x < 1$ .

Merk: Uttrykket er aldri lik 0 (telleren er konstant $-3$ ), så vi bruker streng ulikhet ved endepunktene.

Løsning: $x \in \langle -2, 1 \rangle$

📝Oppgave 9

Løs ulikhetene ved hjelp av fortegnsskjema

\dfrac{-3}{x} < 0

\dfrac{5}{x - 3} \leq 0

\dfrac{3}{2x - 10} > 0

\dfrac{3x + 6}{x - 5} \leq 0

\dfrac{-2x - 6}{(x + 2)(x - 10)} < 0

\dfrac{x + 12}{x^2 - 4} \leq 0

✏️Eksempel 8

Løs ulikhetene:

a) $\dfrac{8}{x} < 4$

b) $\dfrac{2}{x - 4} + 2 \leq 0$

Løsning:

a) $\dfrac{8}{x} < 4$

Vi flytter alt til én side:
$\frac{8}{x} - 4 < 0$
$\frac{8}{x} - \frac{4x}{x} < 0$
$\frac{8 - 4x}{x} < 0$
$\frac{-4(x - 2)}{x} < 0$

x-linje

0

2

-4

(x-2)

\displaystyle \frac{1}{x}

\text{Produkt}

Vi ønsker å finne når produktet er negativt (

< 0

Løsning: $x \in \langle -\infty, 0 \rangle \cup \langle 2, \infty \rangle$

---

b) $\dfrac{2}{x - 4} + 2 \leq 0$

Vi skriver om med felles nevner:
$\frac{2}{x - 4} + \frac{2(x - 4)}{x - 4} \leq 0$
$\frac{2 + 2x - 8}{x - 4} \leq 0$
$\frac{2x - 6}{x - 4} \leq 0$
$\frac{2(x - 3)}{x - 4} \leq 0$

x-linje

3

4

2

(x-3)

\displaystyle \frac{1}{x-4}

\text{Produkt}

Vi ønsker å finne når produktet er $\leq 0$ .

Løsning: $x \in [3, 4 \rangle$

📝Oppgave 10

Løs ulikhetene (flytt alt til én side først)

\dfrac{6}{x} < 3

\dfrac{5}{x - 2} + \dfrac{1}{x} \leq 0

\dfrac{3}{2x - 10} > 0

\dfrac{3x + 6}{x - 5} \leq 0

\dfrac{-2x - 6}{(x + 2)(x - 10)} < 0

\dfrac{x + 12}{x^2 - 4} \leq 0

Løs ulikheter med brøker som inneholder variabler i nevneren.

50 min

14 oppgaver

Rasjonale ulikheterBrøkutrykkDefinisjonsmengdeFortegnsskjema

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Rasjonale ulikheter

Når vi har $x$ under brøkstreken, kan vi ikke behandle ulikheten som en vanlig likning.

> Viktig: Det er ikke lov å gange på begge sider av en ulikhet med ukjente uttrykk (som $x$ eller $x + 3$ ). Dette er fordi vi ikke vet om uttrykket er positivt eller negativt.

Fremgangsmåte

1. Flytt alt til én side slik at du får

\displaystyle \frac{\text{noe}}{\text{noe}} \gtrless 0

2. Faktoriser teller og nevner
3. Sett opp fortegnsskjema med én linje for hver faktor
4. Husk: Der nevneren er null, er uttrykket udefinert (markeres med

\not\exists

eller hull)

Fortegnslinje for $\displaystyle \frac{1}{x}$

Uttrykket $\displaystyle \frac{1}{x}$ er:
- Negativt for $x < 0$
- Udefinert ved $x = 0$
- Positivt for $x > 0$

✏️Eksempel 6

Lag fortegnslinjen til:

a) $\dfrac{4}{x}$

b) $\dfrac{-3}{x - 2}$

c) $\dfrac{-2x + 4}{x + 1}$

Løsning:

a) $\dfrac{4}{x} = 4 \cdot \dfrac{1}{x}$

x-linje

0

4

\displaystyle \frac{1}{x}

\displaystyle \frac{4}{x}

---

b) $\dfrac{-3}{x - 2} = -3 \cdot \dfrac{1}{x - 2}$

x-linje

2

-3

\displaystyle \frac{1}{x-2}

\displaystyle \frac{-3}{x-2}

---

c) $\dfrac{-2x + 4}{x + 1} = \dfrac{-2(x - 2)}{x + 1} = -2 \cdot (x - 2) \cdot \dfrac{1}{x + 1}$

x-linje

-1

2

-2

(x-2)

\displaystyle \frac{1}{x+1}

\text{Produkt}

📝Oppgave 8

Lag fortegnsskjema til uttrykkene

\dfrac{7}{x}

\dfrac{2}{x + 1}

\dfrac{-5}{x - 2}

\dfrac{x - 2}{x + 4}

\dfrac{-2(x + 1)}{(x - 6)(x - 1)}

\dfrac{-3x + 12}{x^2 - 4x + 3}

✏️Eksempel 7

Løs ulikhetene:

a) $\dfrac{x - 3}{x} \geq 0$

b) $\dfrac{-3}{(x + 2)(x - 1)} \geq 0$

Løsning:

a) $\dfrac{x - 3}{x} \geq 0$

Vi skriver om: $(x - 3) \cdot \dfrac{1}{x} \geq 0$

x-linje

0

3

(x-3)

\displaystyle \frac{1}{x}

\displaystyle \frac{x-3}{x}

Vi ser at $\displaystyle \frac{x-3}{x} \geq 0$ når $x < 0$ eller $x \geq 3$ .

Merk: Ved $x = 0$ er uttrykket udefinert, så vi inkluderer ikke dette punktet.

Løsning: $x \in \langle -\infty, 0 \rangle \cup [3, \infty \rangle$

---

b) $\dfrac{-3}{(x + 2)(x - 1)} \geq 0$

Vi skriver om: $-3 \cdot \dfrac{1}{x + 2} \cdot \dfrac{1}{x - 1} \geq 0$

x-linje

-2

1

-3

\displaystyle \frac{1}{x+2}

\displaystyle \frac{1}{x-1}

\text{Produkt}

Vi ser at uttrykket er $\geq 0$ når $-2 < x < 1$ .

Merk: Uttrykket er aldri lik 0 (telleren er konstant $-3$ ), så vi bruker streng ulikhet ved endepunktene.

Løsning: $x \in \langle -2, 1 \rangle$

📝Oppgave 9

Løs ulikhetene ved hjelp av fortegnsskjema

\dfrac{-3}{x} < 0

\dfrac{5}{x - 3} \leq 0

\dfrac{3}{2x - 10} > 0

\dfrac{3x + 6}{x - 5} \leq 0

\dfrac{-2x - 6}{(x + 2)(x - 10)} < 0

\dfrac{x + 12}{x^2 - 4} \leq 0

✏️Eksempel 8

Løs ulikhetene:

a) $\dfrac{8}{x} < 4$

b) $\dfrac{2}{x - 4} + 2 \leq 0$

Løsning:

a) $\dfrac{8}{x} < 4$

Vi flytter alt til én side:
$\frac{8}{x} - 4 < 0$
$\frac{8}{x} - \frac{4x}{x} < 0$
$\frac{8 - 4x}{x} < 0$
$\frac{-4(x - 2)}{x} < 0$

x-linje

0

2

-4

(x-2)

\displaystyle \frac{1}{x}

\text{Produkt}

Vi ønsker å finne når produktet er negativt (

< 0

Løsning: $x \in \langle -\infty, 0 \rangle \cup \langle 2, \infty \rangle$

---

b) $\dfrac{2}{x - 4} + 2 \leq 0$

Vi skriver om med felles nevner:
$\frac{2}{x - 4} + \frac{2(x - 4)}{x - 4} \leq 0$
$\frac{2 + 2x - 8}{x - 4} \leq 0$
$\frac{2x - 6}{x - 4} \leq 0$
$\frac{2(x - 3)}{x - 4} \leq 0$

x-linje

3

4

2

(x-3)

\displaystyle \frac{1}{x-4}

\text{Produkt}

Vi ønsker å finne når produktet er $\leq 0$ .

Løsning: $x \in [3, 4 \rangle$

📝Oppgave 10

Løs ulikhetene (flytt alt til én side først)

\dfrac{6}{x} < 3

\dfrac{5}{x - 2} + \dfrac{1}{x} \leq 0

\dfrac{3}{2x - 10} > 0

\dfrac{3x + 6}{x - 5} \leq 0

\dfrac{-2x - 6}{(x + 2)(x - 10)} < 0

\dfrac{x + 12}{x^2 - 4} \leq 0

Rasjonale ulikheter

Fremgangsmåte

Fortegnslinje for 1x\displaystyle \frac{1}{x}x1​

4.5 Rasjonale ulikheter

Rasjonale ulikheter

Fremgangsmåte

Fortegnslinje for 1x\displaystyle \frac{1}{x}x1​

Fortegnslinje for $\displaystyle \frac{1}{x}$

Fortegnslinje for $\displaystyle \frac{1}{x}$