3.3 Hva er en funksjon?

Å erstatte x med et tall (Matematiske modeller)

Noen ganger har vi matematiske uttrykk som inneholder en ukjent (for eksempel en $x$). Et enkelt eksempel kan være dersom vi ønsker å beskrive en inntekt. Kari tjener 200 kroner per time hun jobber. I løpet av en dag jobber hun $x$ (altså et ukjent antall) timer.

Hvor mye tjener hun? Hun vil altså tjene $200 \cdot x$ kroner der $x$ er antallet timer hun jobber.

Dersom vi finner ut at hun mandag jobber 6 timer så kan vi nå enkelt erstatte $x$ i formelen vår med 6. Vi får nå $200\text{ kr} \cdot 6 = 1200\text{ kr}$.

Vi har nå brukt den matematiske modellen $200x$ (som beskriver inntekten til Kari) til å finne ut hvor mye Kari vil tjene etter 6 timer. Legg her spesielt merke til at matematiske modeller ofte er mer kompliserte og at det enkle eksempelet kun er for illustrasjonsformål.

Egne matematiske modeller

Noen ganger ønsker vi å kunne sette opp egne matematiske modeller for å beskrive ting som skjer i virkeligheten. Vi vil da la $x$ representere en tilfeldig variabel som for eksempel et antall enheter eller et antall minutter eller timer.

$f(x)$ - Matematiske funksjoner

Vi har nå lært hvordan vi kan lage og bruke matematiske modeller (/uttrykk) som beskriver enkle hendelser. Vi hørte om Kari som tjente 200 kroner per time hun jobbet. Vi fant ut at da vil hun tjene $200 \cdot x$ kroner avhengig av $x$ altså antall timer hun jobber.

Vi ønsker nå å lage en funksjon ved hjelp av dette uttrykket. Det er egentlig ikke så vanskelig (men det kan se veldig komplisert ut om du ikke er vant med skrivemåten). Det vi prøver å beskrive er en inntekt som er avhengig av antall timer hun jobber, bokstavene vi bruker i funksjonen blir derfor $I$ (for inntekt) og $t$ (for tid).

Vi skriver funksjonsuttrykket $I(t)$ altså inntekten avhengig av antall timer $t$ hun har jobbet. Vi får da:
$$I(t) = 200t$$

Inntekten Kari får når hun jobber i 5 timer blir:
$$I(5) = 200 \cdot 5 = 1000$$

Om hun jobber i 7 timer vil hun få:
$$I(7) = 200 \cdot 7 = 1400$$

Verditabeller

En verditabell er en tabell som viser sammenhengen mellom $x$-verdier og tilhørende funksjonsverdier $f(x)$. Verditabeller er nyttige når vi skal tegne grafen til en funksjon.

Å tegne egne grafer

I eksempelet under viser vi hvordan du kan tegne din egen graf ved å finne punkter og plotte dem i et koordinatsystem.

Å finne nullpunktene til en funksjon

Nullpunktene til en funksjon har vi der grafen til funksjonen skjærer x-aksen. Når grafen skjærer x-aksen vet vi at funksjonsverdien er lik 0. Vi finner nullpunktene til en funksjon $f(x)$ ved å sette $f(x) = 0$ og løse likningen.

Å finne der to funksjoner skjærer hverandre

Når to grafer skjærer hverandre, har funksjonene samme funksjonsverdi for den x-verdien. For å finne skjæringspunktene setter vi funksjonene lik hverandre og løser for $x$.

Vi ønsker altså å finne ut hvilke x-verdier som gjør at y-verdiene til funksjonene er like. Vi kan løse denne problemstillingen ved å sette funksjonene lik hverandre og løse for $x$.

$$f(x) = g(x)$$
$$x^2 - 1 = x + 1$$
$$x^2 - x - 2 = 0$$

Vi løser likningen over (for eksempel med abc-formelen eller sum og produktregelen):
$$(x - 2)(x + 1) = 0$$
$$x_1 = 2 \quad \vee \quad x_2 = -1$$

Ettersom funksjonene er like hverandre når $x = -1$ og når $x = 2$ så vil vi ha at grafene til funksjonene også skjærer hverandre når $x = -1$ og $x = 2$.

Videre kan vi bli bedt om å finne koordinatene til de faktiske skjæringspunktene. Vi har allerede x-koordinatene. Når vi skal finne y-koordinatene i punktene så bruker vi x-koordinatene samt enten $f(x)$ eller $g(x)$ for å finne dem. Vi velger selvsagt den enkleste funksjonen:

$$g(-1) = -1 + 1 = 0$$
$$g(2) = 2 + 1 = 3$$

Vi får da punktene $(-1, 0)$ og $(2, 3)$.