2.6 Likninger med røtter

Løs likninger som inneholder kvadratrøtter.

30 min

8 oppgaver

RotlikningerKvadreringKontroll av løsninger

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Likninger med røtter

I dette kapitlet lærer du å løse likninger der den ukjente står under et rottegn, for eksempel $\sqrt{x + 3} = 5$ .

Viktig: Når vi kvadrerer begge sider av en likning, kan vi introdusere falske løsninger. Derfor må vi alltid kontrollere svarene!

Kvadratrot

\sqrt{a}

✏️Eksempel 1

Løs likningen $\sqrt{x} = 4$

Løsning:

Vi kvadrerer begge sider:
$(\sqrt{x})^2 = 4^2$
$x = 16$

Kontroll: $\sqrt{16} = 4$ ✓

Svar: $x = 16$

📝Oppgave 1

Løs likningene

\sqrt{x} = 5

\sqrt{x} = 7

\sqrt{x} = 10

\sqrt{x} = 0

✏️Eksempel 2

Løs likningen $\sqrt{x + 5} = 3$

Løsning:

Vi kvadrerer begge sider:
$(\sqrt{x + 5})^2 = 3^2$
$x + 5 = 9$
$x = 4$

Kontroll: $\sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3$ ✓

Svar: $x = 4$

📝Oppgave 2

Løs likningene og kontroller svaret

\sqrt{x - 1} = 4

\sqrt{x + 7} = 5

\sqrt{2x + 1} = 3

\sqrt{3x - 5} = 4

Falske løsninger

Når vi kvadrerer en likning, kan vi få falske løsninger som ikke stemmer med den opprinnelige likningen. Dette skjer fordi kvadrering «glemmer» fortegnet.

Eksempel på hvorfor kontroll er viktig:
- Anta at $\sqrt{x} = -3$ (som ikke har løsning)
- Hvis vi kvadrerer: $x = 9$
- Men $\sqrt{9} = 3 \neq -3$

Derfor: Kontroller alltid svaret i den opprinnelige likningen!

✏️Eksempel 3

Løs likningen $\sqrt{x + 2} = x$

Løsning:

Vi kvadrerer begge sider:
$x + 2 = x^2$
$x^2 - x - 2 = 0$
$(x - 2)(x + 1) = 0$
$x = 2$ eller $x = -1$

Kontroll:
- $x = 2$ : $\sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$ ✓
- $x = -1$ : $\sqrt{-1 + 2} = \sqrt{1} = 1 \neq -1$ ✗

Svar: $x = 2$ (kun én løsning)

📝Oppgave 3

Løs likningene og forkast eventuelle falske løsninger

\sqrt{x - 3} = x - 5

\sqrt{x + 3} = x + 1

\sqrt{2x + 3} = x

\sqrt{x} + 1 = x - 1

Isoler roten først

Hvis rotuttrykket ikke står alene, må du isolere det før du kvadrerer.

✏️Eksempel 4

Løs likningen $\sqrt{x + 1} + 3 = 7$

Løsning:

Isoler roten:
$\sqrt{x + 1} = 7 - 3 = 4$

Kvadrer:
$x + 1 = 16$
$x = 15$

Kontroll: $\sqrt{15 + 1} + 3 = \sqrt{16} + 3 = 4 + 3 = 7$ ✓

Svar: $x = 15$

📝Oppgave 4

Løs likningene

\sqrt{x} - 2 = 3

2\sqrt{x} = 6

\sqrt{x - 4} + 1 = 6

3\sqrt{x + 2} = 12

📝Oppgave 5

Løs likningene

\sqrt{x} = -2

\sqrt{x^2} = 4

\sqrt{x - 1} = \sqrt{2x - 5}

\sqrt{x + 5} - \sqrt{x} = 1

Oppsummering

\sqrt{a} \geq 0

Matematikk 1TTilbake

2.6 Likninger med røtter

Løs likninger som inneholder kvadratrøtter.

30 min

8 oppgaver

RotlikningerKvadreringKontroll av løsninger

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Likninger med røtter

I dette kapitlet lærer du å løse likninger der den ukjente står under et rottegn, for eksempel $\sqrt{x + 3} = 5$ .

Viktig: Når vi kvadrerer begge sider av en likning, kan vi introdusere falske løsninger. Derfor må vi alltid kontrollere svarene!

Kvadratrot

\sqrt{a}

✏️Eksempel 1

Løs likningen $\sqrt{x} = 4$

Løsning:

Vi kvadrerer begge sider:
$(\sqrt{x})^2 = 4^2$
$x = 16$

Kontroll: $\sqrt{16} = 4$ ✓

Svar: $x = 16$

📝Oppgave 1

Løs likningene

\sqrt{x} = 5

\sqrt{x} = 7

\sqrt{x} = 10

\sqrt{x} = 0

✏️Eksempel 2

Løs likningen $\sqrt{x + 5} = 3$

Løsning:

Vi kvadrerer begge sider:
$(\sqrt{x + 5})^2 = 3^2$
$x + 5 = 9$
$x = 4$

Kontroll: $\sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3$ ✓

Svar: $x = 4$

📝Oppgave 2

Løs likningene og kontroller svaret

\sqrt{x - 1} = 4

\sqrt{x + 7} = 5

\sqrt{2x + 1} = 3

\sqrt{3x - 5} = 4

Falske løsninger

Når vi kvadrerer en likning, kan vi få falske løsninger som ikke stemmer med den opprinnelige likningen. Dette skjer fordi kvadrering «glemmer» fortegnet.

Eksempel på hvorfor kontroll er viktig:
- Anta at $\sqrt{x} = -3$ (som ikke har løsning)
- Hvis vi kvadrerer: $x = 9$
- Men $\sqrt{9} = 3 \neq -3$

Derfor: Kontroller alltid svaret i den opprinnelige likningen!

✏️Eksempel 3

Løs likningen $\sqrt{x + 2} = x$

Løsning:

Vi kvadrerer begge sider:
$x + 2 = x^2$
$x^2 - x - 2 = 0$
$(x - 2)(x + 1) = 0$
$x = 2$ eller $x = -1$

Kontroll:
- $x = 2$ : $\sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$ ✓
- $x = -1$ : $\sqrt{-1 + 2} = \sqrt{1} = 1 \neq -1$ ✗

Svar: $x = 2$ (kun én løsning)

📝Oppgave 3

Løs likningene og forkast eventuelle falske løsninger

\sqrt{x - 3} = x - 5

\sqrt{x + 3} = x + 1

\sqrt{2x + 3} = x

\sqrt{x} + 1 = x - 1

Isoler roten først

Hvis rotuttrykket ikke står alene, må du isolere det før du kvadrerer.

✏️Eksempel 4

Løs likningen $\sqrt{x + 1} + 3 = 7$

Løsning:

Isoler roten:
$\sqrt{x + 1} = 7 - 3 = 4$

Kvadrer:
$x + 1 = 16$
$x = 15$

Kontroll: $\sqrt{15 + 1} + 3 = \sqrt{16} + 3 = 4 + 3 = 7$ ✓

Svar: $x = 15$

📝Oppgave 4

Løs likningene

\sqrt{x} - 2 = 3

2\sqrt{x} = 6

\sqrt{x - 4} + 1 = 6

3\sqrt{x + 2} = 12

📝Oppgave 5

Løs likningene

\sqrt{x} = -2

\sqrt{x^2} = 4

\sqrt{x - 1} = \sqrt{2x - 5}

\sqrt{x + 5} - \sqrt{x} = 1

Oppsummering

\sqrt{a} \geq 0

2.6 Likninger med røtter | Matematikk 1T | Eksamenssett