2.4 Fullstendig kvadrat

Løs andregradslikninger ved å fullføre kvadratet.

30 min

8 oppgaver

Fullstendig kvadratAndregradslikninger

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Fullføre kvadratet

Metoden fullstendig kvadrat (eller «fullføre kvadratet») er en teknikk for å løse andregradslikninger ved å omskrive uttrykket til en perfekt kvadratform.

Denne metoden er spesielt nyttig når:
- Du vil forstå hvor abc-formelen kommer fra
- Du skal finne toppunktet til en parabel
- Faktorisering ikke gir «pene» tall

📜Første kvadratsetning

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Mønsteret: Det midterste leddet er dobbelt produkt av $a$ og $b$ .

✏️Eksempel 1

Skriv $x^2 + 6x + 9$ som et kvadrat.

Løsning:

Vi sammenligner med $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

- $a^2 = x^2 \Rightarrow a = x$
- $2ab = 6x \Rightarrow 2 \cdot x \cdot b = 6x \Rightarrow b = 3$
- $b^2 = 3^2 = 9$ ✓

Svar: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$

📝Oppgave 1

Skriv uttrykkene som fullstendige kvadrater

x^2 + 4x + 4

x^2 - 10x + 25

x^2 + 2x + 1

x^2 - 8x + 16

Metoden: Fullføre kvadratet

For å løse $x^2 + bx + c = 0$ :

1. Flytt konstantleddet: $x^2 + bx = -c$
2. Legg til $\displaystyle \left(\frac{b}{2}\right)^2$ på begge sider
3. Venstre side blir nå $\displaystyle (x + \frac{b}{2})^2$
4. Løs ved å ta kvadratrot

✏️Eksempel 2

Løs $x^2 + 6x - 7 = 0$ ved å fullføre kvadratet.

Løsning:

Steg 1: Flytt konstantleddet
$x^2 + 6x = 7$

Steg 2: Legg til $\displaystyle \left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9$ på begge sider
$x^2 + 6x + 9 = 7 + 9$
$x^2 + 6x + 9 = 16$

Steg 3: Skriv venstre side som kvadrat
$(x + 3)^2 = 16$

Steg 4: Ta kvadratrot
$x + 3 = \pm 4$

$x = -3 + 4 = 1 \quad$ eller $\quad x = -3 - 4 = -7$

Svar: $x = 1$ eller $x = -7$

📝Oppgave 2

Løs likningene ved å fullføre kvadratet

x^2 + 4x - 5 = 0

x^2 - 2x - 8 = 0

x^2 + 8x + 7 = 0

x^2 - 6x + 5 = 0

✏️Eksempel 3

Løs $x^2 - 4x + 1 = 0$ ved å fullføre kvadratet.

Løsning:

$x^2 - 4x = -1$

$x^2 - 4x + 4 = -1 + 4$

$(x - 2)^2 = 3$

$x - 2 = \pm\sqrt{3}$

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

Svar: $x = 2 + \sqrt{3}$ eller $x = 2 - \sqrt{3}$

📝Oppgave 3

Løs likningene og gi eksakt svar

x^2 + 2x - 1 = 0

x^2 - 6x + 4 = 0

x^2 + 4x - 1 = 0

x^2 - 10x + 20 = 0

Når koeffisienten foran $x^2$ ikke er 1

Hvis likningen har formen $ax^2 + bx + c = 0$ der $a \neq 1$ :

1. Del hele likningen på $a$
2. Fullør kvadratet som vanlig

✏️Eksempel 4

Løs $2x^2 + 8x - 10 = 0$ ved å fullføre kvadratet.

Løsning:

Del på 2:
$x^2 + 4x - 5 = 0$

Flytt konstantleddet:
$x^2 + 4x = 5$

Legg til $\displaystyle \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4$ :
$x^2 + 4x + 4 = 5 + 4$
$(x + 2)^2 = 9$

Ta kvadratrot:
$x + 2 = \pm 3$
$x = -2 + 3 = 1 \quad$ eller $\quad x = -2 - 3 = -5$

Svar: $x = 1$ eller $x = -5$

📝Oppgave 4

Løs likningene ved å fullføre kvadratet

2x^2 - 4x - 6 = 0

3x^2 + 12x - 15 = 0

-x^2 + 6x - 5 = 0

4x^2 - 8x - 12 = 0

Oppsummering

x^2 + bx = -c

Matematikk 1TTilbake

2.4 Fullstendig kvadrat

Løs andregradslikninger ved å fullføre kvadratet.

30 min

8 oppgaver

Fullstendig kvadratAndregradslikninger

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Fullføre kvadratet

Metoden fullstendig kvadrat (eller «fullføre kvadratet») er en teknikk for å løse andregradslikninger ved å omskrive uttrykket til en perfekt kvadratform.

Denne metoden er spesielt nyttig når:
- Du vil forstå hvor abc-formelen kommer fra
- Du skal finne toppunktet til en parabel
- Faktorisering ikke gir «pene» tall

📜Første kvadratsetning

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Mønsteret: Det midterste leddet er dobbelt produkt av $a$ og $b$ .

✏️Eksempel 1

Skriv $x^2 + 6x + 9$ som et kvadrat.

Løsning:

Vi sammenligner med $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

- $a^2 = x^2 \Rightarrow a = x$
- $2ab = 6x \Rightarrow 2 \cdot x \cdot b = 6x \Rightarrow b = 3$
- $b^2 = 3^2 = 9$ ✓

Svar: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$

📝Oppgave 1

Skriv uttrykkene som fullstendige kvadrater

x^2 + 4x + 4

x^2 - 10x + 25

x^2 + 2x + 1

x^2 - 8x + 16

Metoden: Fullføre kvadratet

For å løse $x^2 + bx + c = 0$ :

✏️Eksempel 2

Løs $x^2 + 6x - 7 = 0$ ved å fullføre kvadratet.

Løsning:

Steg 1: Flytt konstantleddet
$x^2 + 6x = 7$

Steg 2: Legg til $\displaystyle \left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9$ på begge sider
$x^2 + 6x + 9 = 7 + 9$
$x^2 + 6x + 9 = 16$

Steg 3: Skriv venstre side som kvadrat
$(x + 3)^2 = 16$

Steg 4: Ta kvadratrot
$x + 3 = \pm 4$

$x = -3 + 4 = 1 \quad$ eller $\quad x = -3 - 4 = -7$

Svar: $x = 1$ eller $x = -7$

📝Oppgave 2

Løs likningene ved å fullføre kvadratet

x^2 + 4x - 5 = 0

x^2 - 2x - 8 = 0

x^2 + 8x + 7 = 0

x^2 - 6x + 5 = 0

✏️Eksempel 3

Løs $x^2 - 4x + 1 = 0$ ved å fullføre kvadratet.

Løsning:

$x^2 - 4x = -1$

$x^2 - 4x + 4 = -1 + 4$

$(x - 2)^2 = 3$

$x - 2 = \pm\sqrt{3}$

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

Svar: $x = 2 + \sqrt{3}$ eller $x = 2 - \sqrt{3}$

📝Oppgave 3

Løs likningene og gi eksakt svar

x^2 + 2x - 1 = 0

x^2 - 6x + 4 = 0

x^2 + 4x - 1 = 0

x^2 - 10x + 20 = 0

Når koeffisienten foran $x^2$ ikke er 1

Hvis likningen har formen $ax^2 + bx + c = 0$ der $a \neq 1$ :

1. Del hele likningen på $a$
2. Fullør kvadratet som vanlig

✏️Eksempel 4

Løs $2x^2 + 8x - 10 = 0$ ved å fullføre kvadratet.

Løsning:

Del på 2:
$x^2 + 4x - 5 = 0$

Flytt konstantleddet:
$x^2 + 4x = 5$

Legg til $\displaystyle \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4$ :
$x^2 + 4x + 4 = 5 + 4$
$(x + 2)^2 = 9$

Ta kvadratrot:
$x + 2 = \pm 3$
$x = -2 + 3 = 1 \quad$ eller $\quad x = -2 - 3 = -5$

Svar: $x = 1$ eller $x = -5$

📝Oppgave 4

Løs likningene ved å fullføre kvadratet

2x^2 - 4x - 6 = 0

3x^2 + 12x - 15 = 0

-x^2 + 6x - 5 = 0

4x^2 - 8x - 12 = 0

Oppsummering

x^2 + bx = -c

2.4 Fullstendig kvadrat | Matematikk 1T | Eksamenssett

2.4 Fullstendig kvadrat

Fullføre kvadratet

Metoden: Fullføre kvadratet

Når koeffisienten foran x2x^2x2 ikke er 1

2.4 Fullstendig kvadrat

Fullføre kvadratet

Metoden: Fullføre kvadratet

Når koeffisienten foran x2x^2x2 ikke er 1

Når koeffisienten foran $x^2$ ikke er 1

Når koeffisienten foran $x^2$ ikke er 1